09 equação polinomial e PG

por Analise Sousa Pereira Seg 04 Dez 2023, 12:21

As raízes da equação (x^3)+ (ax^2) + bx + c = 0 estão em progressão geométrica. se a, b e c são números reais diferente de zero, então c é igual a:

Gabarito (b/a)^3

Ibam 2023

por **Elcioschin** Seg 04 Dez 2023, 13:48

Seja q a razão da PG e k = 2º termo ---> PG: k/q, k, k.q ---> Relações de Girard:

(k/q) + k + k.q = - a

(k/q).(k) + (k/q).(k.q) + (k).(k.q) = b

(k/q).(k).(k.q) = - c

Complete

por **petras** Seg 04 Dez 2023, 14:18

[latex]PG:(\frac{x}{q}, x, xq)\\Girad: -\frac{c}{a} = x_1.x_2.x_3 \implies \sqrt[3]{-c}\\ x = x^3+ ax^2+bx+c=0\\ (\sqrt[3]{-c})^3+(a\sqrt[3]{-c})^2+b\sqrt[3]{-c}+c = 0\\ a(\sqrt[3]{-c})^2=-b\sqrt[3]{-c} (Elevando ^3) \implies a^3.c^2=-b^3(-c)=b^3c\\ \therefore c = \frac{b^3}{a^3}=\boxed{(\frac{b}{a})^3}[/latex]

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