momento angular

por Julia Qui 10 Jun 2010, 18:05

Um aro, um disco e uma esfera, todos de mesma massa, são largados, sem velocidade
inicial, do topo de uma rampa de comprimento 2.5 m, que forma com a horizontal um
ângulo de 12 graus.
(a) Qual destes objetos atingirá primeiro a base do plano ? Justifique.
(b) Determine a velocidade de cada um destes objetos na base do plano.

Resposta: (a) Esfera; (b) Aro = 2.26 m/s, Disco = 2.61 m/s e Esfera = 2.70 m/s

por **Euclides** Sex 11 Jun 2010, 01:03

Em cada ponto da rampa a energia total de cada corpo será a soma de sua energia potencial de altura mais a energia cinética do centro de massa, mais a energia cinética de rotação. Pela conservação da energia mecânica essa soma será igual à energia potencial no alto da rampa, antes do movimento:

$\\MgH=Mgh+\frac{Mv^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}\\\\MgH=Mgh+\frac{Mv^2}{2}+\frac{Iv^2}{2r^2}\hspace{25}h=0\to MgH=\frac{Mv^2}{2}+\frac{Iv^2}{2r^2}\\\\MgH=v^2\left (\frac{M}{2}+\frac{I}{2r^2} \right )\hspace{25}v^2=\frac{2MgHr^2}{Mr^2+I}\to I=kMr^2 \\\\\\v^2=\frac{2gH}{1+k}$

$\\aro\to k=1\hspace{25}disco\to k=\frac{1}{2}\hspace{25}esfera\to k=\frac{2}{5}\\v_a^2=\frac{2gH}{1+1}\hspace{50}v_d^2=\frac{2gH}{1+\frac{1}{2}}\hspace{50}v_e^2=\frac{2gH}{1+\frac{2}{5}}\\\\v_a^2=gH\hspace{45}v_d^2=\frac{4gH}{3}\hspace{25}v_e^2=\frac{10gH}{7}$

$\\\frac{10}{7}>\frac{4}{3}>1\hspace{25}\Rightarrow\hspace{25}{\color{red} v_e>v_d>v_a }$

$H=2,5sen(12)\sim0,52\,m$

calcule as velocidades.

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