Derivadas

Sejam f : R → R derivável e a, b ∈ R tais que f ( a) = f (b) = 0. Mostre que se f'( a). f'(b) > 0, então existe c entre a e b tal que f (c) = 0.

É um exercício gráfico. Se a função é contínua, ou pelo menos, existe no intervalo a até b, duas de suas raízes, a condição f'( a). f'(b) > 0,  indica que f'(a) tem o mesmo sinal de f'(b) . Faça um plano cartesiano e sobre o eixo x marque dois pontos ( as raízes a e b). Se f'( a) tem o mesmo sinal de f'(b), o gráfico da função nos dois pontos passará "subindo"( no sentido de ser uma função crescente), caso em que as derivadas são ambas positivas, ou "descendo" com ambas negativas. Você não sabe o que tem no "meio" mas sabe que os dois pontos são raízes. Assim deve existir pelo menos um ponto por onde o gráfico passa pelo eixo x novamente (entre a e b), ou seja, uma raiz, completando o gráfico. Note que o número de c.s possíveis é sempre ímpar, tratando-se de uma função bem comportada.

Mas como provo formalmente, pelo tvm ou por outro teorema?