Produtos Notáveis/ Fatoração

por L.Lawliet Sex 25 Abr 2014, 15:37

Dado: a+b+c=1 e ab+bc+ac= 2. Calcule 3(a⁴+b⁴+c⁴)-4(a³+b³+c³)

A resposta é 23.

Da fatoração (a+b+c)² = a²+b²+c² +2(ab+bc+ac), achei que a²+b²+c²= -3

e acho que os valores pedidos partirão das seguintes fatorações:

Da fatoração a³+b³+c³-3abc= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) →a³+b³+c³-3abc= -5

(a²+b²+c²)² = a⁴+b⁴+c⁴+ a²b²+a²c²+b²c²

Mas eu nao consigo achar os outros valores necessarios para calcular esses. Alguem tem alguma ideia?

por Luck Sex 25 Abr 2014, 15:53

Por polinômios simétricos:
S[n] = a1S[n-1] -a2S[n-2] + a3S[n-3]
onde a1 = a+b+c ; a2 = ab + ac + bc ; a3 = abc
S[0] = 3 ; S[1] =a1 ; S[2] = a1² -2a2 = -3

S[3] = a1S2 -a2S1 + a3S[0]
S[3] = 1(-3) - 2.1 + 3a3
S[3] = 3a3 -5

S[4] = a1S3 - a2S2 + a3S1
S[4] = (3a3-5) - 2(-3) + a3
S[4] = 4a3 +1

3S[4] - 4S[3] = 3(4a3+1) - 4(3a3-5 )
3S[4] - 4S[3] = 23

Para estudar mais sobre o assunto, dê uma lida no link postado pelo Pedro no tópico abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t64708-polinomios-simetricos?highlight=polin%C3%B4mios+sim%C3%A9tricos

ps. resolvendo da sua forma, isole a³+b³+c³ e a^4 + b^4 + c^4 em função de abc que vc vai chegar no mesmo resultado.

por L.Lawliet Sex 25 Abr 2014, 16:02

Valeu luck, nao conhecia polinomios simetricos nao, mas o dropbox ta vazio :/ . Tem ele em algum outro lugar?

por PedroCunha Sex 25 Abr 2014, 16:03

Olá.

Por polinômios simétricos:

Sk = a^k + b^k + c^k = φ1*S{k-1} - φ2*S{k-2} + φ3*S{k-3}
φ1 = a+b+c
φ2 = ab+bc+ac
φ3 = abc

S0 = 3
S1 = φ1 = 1
φ2 = 2

S2 = a²+b²+c² = (a+b+c)² - 2*(ab+bc+ac) = 1 - 4 = -3
S3 = φ1*S2 - φ2*S1 + φ3*S0 .:. S3 = -3-2 3φ3 .:. S3 = -5+3φ3
S4 = φ1*S3 - φ2*S2 + φ3*S1 .:. S4 = -5+3φ3 + 6 + φ3 .:. S4 = 1 + 4φ3

O valor pedido é:

3*S4 - 4*S3 .:. (3+12φ3) - (-20+12φ3) .:. 23

Att.,
Pedro

por PedroCunha Sex 25 Abr 2014, 16:05

Luiz, segue o novo link: https://www.dropbox.com/sh/qrotxiqa5a1mufs/PKbslLTuu7

por L.Lawliet Sex 25 Abr 2014, 16:14

Muito obrigado Pedro Cunha e Luck!!

por L.Lawliet Sex 25 Abr 2014, 19:55

No material que voce postou, nessa parte

Produtos Notáveis/ Fatoração 97d228f091a8e5215603e0ec47f94308

Tem como voce me explicar a parte do agrupamento "Assim se agruparmos os termos b.x^i.y^k +b.x^k.y^i ..."

Eu entendi o que vinha antes e como voce fatorou essa soma depois mas eu nao entendi esse agrupamento.

por PedroCunha Sex 25 Abr 2014, 20:04

É a mesma coisa de quando você coloca em evidência. Vou te explicar só a parte algébrica. Não sei como te explicar a demonstração da teoria. Veja:

b*x^i*y^k + b*x^k*y^i .:.
b* ( x^i*y^k + x^k*y^i)

Colocando o x^i*y^i em evidência:

b* (x^i*y^i) * (x^i/x^i * y^k/y^i + x^k/x^i * y^i/y^i) .:. b*(φ2)^i*(y^{k-i} + x^{k-i}) .:.
b*(φ2)^i*S{k-i}, c.q.d.

Att.,
Pedro

por L.Lawliet Sex 25 Abr 2014, 20:07

Pedro, essa parte eu consegui entender mas por que e de onde saiu esse agrupamento: (b.x^i.y^k +b.x^k.y^i) e ele seria igual a quanto? Ele somou F(x;y) com F(y;x) dando (b.x^i.y^k +b.x^k.y^i)

{ F(x;y) + F(y;x)= (b.x^i.y^k +b.x^k.y^i)=0}

foi isso?

por PedroCunha Sex 25 Abr 2014, 20:20

Também não entendi muito bem. Eu realmente não fui tentar aprender a demonstração, Luiz. Fui direto à prática.

Vamos esperar algum outro membro. Talvez o Luck consiga te explicar.