Calculo de Volume .:. Integral I

por Amário Soares Ter 01 Abr 2014, 21:46

01. Encontre o volume do sólido de revolução, gerado quando a região limitada pela curva ((raiz de x) + (raiz de y) = (raiz de a)) e os eixos coordenados, gira em torno:
(a) Do eixo X; resposta: ∏a³/15
(b) Da reta x=a resposta: 14∏a³/15

por Man Utd Qua 02 Abr 2014, 11:38

Olá

Primeiramente note que :

$Calculo de Volume .:. Integral I Gif$

lembrando que a rotação em torno do eixo "x" é dado pela integral integral: $\\\\\\ \pi\int_{a}^{b}[f(x)]^2 \; dx$

Esboçando verá que :

$\\\\\\ \pi \int_{0}^{a} (a-2\sqrt{ax}+x)^2 \; dx =\frac{\pi a^{3}}{15}$

que é a resposta da alternativa (a).

Agora a alternativa (b) é diferente veja que usaremos a integral que serve para rotação do eixo y, só que deslocada desse eixo, isto é:

$\\\\\\ 2\pi \int_{a}^{b} (x-k)f(x) \; dx$

então ficamos com :

$\\\\\\ \left| 2\pi \int_{0}^{a} (x-a)(a-2\sqrt{ax}+x) \; dx \right|=\frac{4\pi a^{3}}{15}$

fica como exercício o cálculo dessas integrais.PS: favor verificar o gabarito da alternativa (b), já que o resultado deu diferente.

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