Integral e o calculo do volume

por neoreload Seg 16 Mar 2015, 06:56

Pessoal, como fazer essa questão que é pra achar o volume usando integral:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:

y = 2x − x²; a reta y = 0

Resposta:

Estou bem no inicio da disciplina, se possível colocar o passo de maneira simples, pq fiquei sem entender, e gostaria de entender bem. Eu sei que usa a integral, mas não estou sabendo usar a formula. Estou precisando dessa pra continuar os estudos

por neoreload Seg 16 Mar 2015, 16:26

Alguém pode ajudar ?

por **Jader** Seg 16 Mar 2015, 16:45

Faça o gráfico e veja que as raízes dessa equação y=-x²+2x são em x=0 e x=2.

Então o sólido rotacionado em y=0 (eixo x) podemos fazer secções paralelas ao eixo y dando círculos de raio r(x) = -x²+2x que é a distância da função até o eixo de rotação.

Assim o volume será:

$V=\pi \int_{0}^{2}(-x^{2}+2x)^{2}dx \\\\ =\pi \int_{0}^{2}x^{4}-4x^{3}+4x^{2}dx \\\\ =\pi(\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3})|_{0}^{2} \\\\ =\frac{16\pi}{15}$

por neoreload Seg 16 Mar 2015, 18:37

Jader escreveu:Faça o gráfico e veja que as raízes dessa equação y=-x²+2x são em x=0 e x=2.

Então o sólido rotacionado em y=0 (eixo x) podemos fazer secções paralelas ao eixo y dando círculos de raio r(x) = -x²+2x que é a distância da função até o eixo de rotação.

Assim o volume será:

$V=\pi \int_{0}^{2}(-x^{2}+2x)^{2}dx \\\\ =\pi \int_{0}^{2}x^{4}-4x^{3}+4x^{2}dx \\\\ =\pi(\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3})|_{0}^{2} \\\\ =\frac{16\pi}{15}$

Amigo desculpe a pergunta meio besta :S, mas como vc achou o x=0 e x=2? Percebi que o meu maior problema é entender como fazer os graficos. Porque quando vc chegou em $V=\pi \int_{0}^{2}(-x^{2}2x)^{2}dx$ eu consigo fazer de boas mesmo. Teria como explicar o passo a passo o mais detalhado que vc puder, de como construir esse grafico e como entender ele? mais uma vez, desculpe atrapalha amigo, mas entendendo isso acho q consigo fazer todas.

por neoreload Ter 17 Mar 2015, 07:54

neoreload escreveu:
Jader escreveu:Faça o gráfico e veja que as raízes dessa equação y=-x²+2x são em x=0 e x=2.

Então o sólido rotacionado em y=0 (eixo x) podemos fazer secções paralelas ao eixo y dando círculos de raio r(x) = -x²+2x que é a distância da função até o eixo de rotação.

Assim o volume será:

$V=\pi \int_{0}^{2}(-x^{2}+2x)^{2}dx \\\\ =\pi \int_{0}^{2}x^{4}-4x^{3}+4x^{2}dx \\\\ =\pi(\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3})|_{0}^{2} \\\\ =\frac{16\pi}{15}$
Amigo desculpe a pergunta meio besta :S, mas como vc achou o x=0 e x=2? Percebi que o meu maior problema é entender como fazer os graficos. Porque quando vc chegou em $V=\pi \int_{0}^{2}(-x^{2}2x)^{2}dx$ eu consigo fazer de boas mesmo. Teria como explicar o passo a passo o mais detalhado que vc puder, de como construir esse grafico e como entender ele? mais uma vez, desculpe atrapalha amigo, mas entendendo isso acho q consigo fazer todas.

Eu pesquisei aqui amigo e não consigo entender esses gráficos, tem como ajudar ?

por **Jader** Ter 17 Mar 2015, 13:12

O gráfico da função é esse:

Integral e o calculo do volume La8onsu

Quando rotacionamos essa função em torno da reta y=0 (eixo x) vei gerar o sólido seguinte:
Integral e o calculo do volume TI0oAd3

Então nosso sólido a ser calculado seu volume é esse delimitado pela função e o eixo x que vai de x=0 e x=2

por neoreload Ter 17 Mar 2015, 18:18

Jader escreveu:O gráfico da função é esse:

Quando rotacionamos essa função em torno da reta y=0 (eixo x) vei gerar o sólido seguinte:

Então nosso sólido a ser calculado seu volume é esse delimitado pela função e o eixo x que vai de x=0 e x=2

A minha duvida na realidade é como vc sabe onde onde o y = 2x − x² vai ficar no gráfico, já que ele não é só números, e não temos o valor de x para substituir. O eu fico atrapalhado é isso, pq veja geral colocando a equação no gráfico, mas não entendo como.

por **Jader** Ter 17 Mar 2015, 20:14

Porque ele quer a região delimitada pela função y = 2x − x² e o eixo x, ou seja, só essa parte que está acima do eixo x e, consequentemente, o intervalo de integração será o intervalo em que os extremos são as raízes da equação y = 2x − x²

por jakz Dom 22 Mar 2015, 03:42

Simples, teste os números na função de y = 2x-x²
Exemplo:
f(0) y = 2.0-0² = 0
Portanto se X = 0, o Y sera 0, cruzando as linhas formando uma raiz
f(1) y = 2.1-1² = 1
Portanto se X = 1, o Y sera 1, assim as linhas não irão se tocar
f(2) y = 2.2-2² = 0
Portanto se x = 2, o Y sera 0, cruzando as linhas formando uma raiz