Cinemática

Uma lancha desce um rio corredeira abaixo ultrapassando uma balsa em um ponto A. Após 60 minutos a lancha dá meia volta e depois de um certo tempo ultrapassa novamente essa balsa a uma distância L = 6,0 Km do ponto A. Pede-se:

a) Qual é a expressão genérica da velocidade da correnteza? (Considerando a velocidade da lancha constante).
b) Qual será a velocidade da correnteza para os valores citados?

.............................. 60 min
A ------------------------------------------------------ B

---> Vl
---> Vb 


| ---------------------- C -------------------------------|

.... ---> Vb ............C........................... Vl <---

| -------- d -- ---------|------------ D ---------------- |

...........................Vb --->
..................................... <--- Vl
........................................... Vb --->



........................... |----- d' -----|------ D' ------- |

Vl e Vr são as velocidades da lancha e do rio (a velocidade da balsa é a mesma do rio)


60 min = 1 h

d = Vr.1 ---> d = Vr ---> I
D = (Vl + Vr).1 ---> D = Vl + Vr ----> II

d' = Vr.t
D' = (Vl - Vr).t

d' + D' = D ----> Vr.t + (Vl - Vr).t = Vl  + Vr ---> Vl.t = Vl + Vr

d + d' = 6 ----> Vr + Vr.t = 6

Tente completar


....................

Elcioschin,

Tentei resolver a sua sequência mas tive dificuldade em achar uma relação com o segundo tempo "t". Mas depois de pensar em sua resolução acho que encontrei uma saída que vou tentar esboçar:


*Situação inicial:

  A---------------------------------------------B
  <----------------------D---------------------->

---> Vl (velocidade da lancha)
---> Vb = Vr (velocidade da balsa = velocidade do rio)

*Situação final: (C é o ponto de encontro)

  <----------d--------->
  A--------------------C------------------------B
                         ---> Vb = Vr     (balsa)       (sentidos opostos)
                               (Vl-Vr)<--- (lancha)

A ideia que tive foi a de igualar o tempo que a balsa demora para chegar no ponto C com o tempo que a lancha vai de A até B mais o tempo que ela volta até C:

Para a balsa (De A até C):

t1 = d/Vr

Para a lancha:

*De A até B: (Vl+Vr) = D/t ---> D = (Vl+Vr)t (I)
*De B até C: (Vl-Vr) = (D-d)/t2 (II)

Substituindo (I) em (II):

(Vl-Vr) = [(Vl+Vr)t-d]/t2 ---> t2 = [(Vl+Vr)t-d]/(Vl-Vr)

Igualando os tempos: (tempo da balsa até C = tempo da lancha até B + tempo da lancha até C)

t1 = t + t2 ---> d/Vr = t + [(Vl+Vr)t-d]/(Vl-Vr)
d/Vr = {[t(Vl-Vr)]+[(Vl+Vr)t-d]}/(Vl-Vr)
d/Vr = [(t.Vl-t.Vr+Vl.t+Vr.t-d)]/(Vl-Vr)
d/Vr = (2t.Vl-d)/(Vl-Vr)
d(Vl-Vr) = Vr(2t.Vl-d)
d.Vl-d.Vr = Vr.2t.Vl-Vr.d
d.Vl = 2t.Vr.Vl

Finalmente: 

Vr = d/2t (item a do problema)

b) Vr = 6 Km/(2.1)h ---> Vr = 3 Km/h.

Solução interessante.
Você notou que não usou o tempo que a lancha desceu o rio (60 min)?
Será que esta informação é dispensável?

O tempo que a lancha desceu o rio t (60 min) ficou embutido no tempo da balsa t1, já o tempo t2 da volta da lancha ficou em função do tempo t (60 min). Eu tentei deixar a expressão genérica em função do tempo t (60 min) e da distância de encontro que eram os valores que ele deu no enunciado.
Acredito que não tem problema em proceder assim, pois eles partem do mesmo tempo (quando a lancha ultrapassa a balsa), se fosse um tempo diferente de partida e ele não desse isso, aí poderia complicar fazer dessa maneira.

Abraços.

A solução do marzosh é bem interessante, sim. Acho que podemos ter um caminho mais curto:



a distância percorrida pela lancha desde o início até o ponto de retorno é



em que t=1h. No momento de encontro, decorrido um tempo t' desde o ponto de virada, a  distância percorrida pela lancha é igual a D-6:



subtraindo as duas equações:

Perfeito, Euclides. Desse jeito mais curto fica mais fácil e prático a visualização! Obrigado a você por ter compartilhado esse outro caminho e parabéns pelo ótimo trabalho visual de suas explicações. Agradeço ao Elcioschin também por ter dado insights que me ajudaram a resolver na sequência e parabéns pelo trabalho nos outros posts.