Obter equação de reta paralela

312. Obtenha a equação de uma reta paralela a (r) y = 2x que determine na circunferência (λ) x² + y² = 100 uma corda de comprimento L = 16.

Resposta: 2x - y ± 6√5

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 312.

Desenhe a circunferência (em escala) num sistema xOy:

Centro O(0. 0) e raio R = 10

Desenhe em escala a reta r: y = 2x ---> Passa por O(0, 0) e por A(3, 6)

Desenhe uma das duas retas paralelas à reta r, a qual corta a circunferência em N e P. Seja M o ponto médio da corda NP = 16. Una M com O para obter o triângulo retângulo OMN:

OM² = ON² - MN² ---> OM² = 10² - (16/2)² ---> OM = 6

OM é a distância do origem O(0, 0) à reta y = 2x ± k ----> 2x - y ± k = 0

d = |a.xo + b.y0 ± k|/√(a² + b²)

6 = |2.0 - 1.0 ± k|/√[2² + (-1)²] ---> 6 = ± k/√5 ---> k = ± 6.√5

Equação da reta ---> 2x - y ± 6√5 = 0

Olá.

y = 2x --> m = 2 --> y' = 2x' + b
λ = x² + y² = 100 --> C(0,0), r = 10

Ponto de interseção da reta com a circunferência:

x² + (2x+b)² = 100 .:. x² + 4x² + 4xb + b² = 100 .:. 5x² + x*(4b) + (b²-100)
∆ = (4b)² - 4*5*(b²-100) .:. ∆ = 16b² - 20b² + 2000 .:. ∆ = -4b²+2000 .:. ∆ = 4*(-b² + 500)
x = (-4b +- 2√(-b²+500))/10 --> x = (-2b + √(-b²+500) )/5 , y = (-4b +- 2√(-b²+500))/5

A distância entre os possíveis pontos (x,y) deve ser igual à L. Logo:
[(-4b + 2√(-b²+500))/5 - (-4b - 2√(-b²+500))/5]² + [(-2b + √(b²-500))/5 - (-2b - √(b²-500))/5]² = 256 .:. [ ( 4√(-b²+500) )/5 ]² + [ (2√(-b²+500) )/5]² = 256 .:.  16*(-b²+500)/25 + 4*(-b²+500)/25 = 256 .:.
20*(-b²+500)/25 = 256 .:. 4*(-b²+500)/5 = 256 .:. (-b²+500)/5 = 64 .:. -b² + 500 = 320 .:.
b² = 180 .:. b = +- 6√5

Logo:

Resposta: y = 2x +- 6√5 .:. 2x - y +- 6√5

É isso.

Att.,
Pedro