Função Polinomial II

Relembrando a primeira mensagem :

Consideremos o polinômio P(x) = 2x³ + 3x² - 12x + k, onde k é real.

a) Determine os valores de k para os quais o polinômio tem 3 raízes reais distintas.

b) Determine os valores de k para os quais o polinômio admite uma raiz real e duas imaginárias.

Gabarito:

Sim, na minha apostila não tem essa parte de função.

ae fui pro FME huahsu.
último tópico meu, depois é o livro do Caio haha
fala sério, trigonometria, polinômios e complexos (são os melhores tópicos da matemática ) hahah

Hahaha.. O meu livro do Caio chega hoje, quanta emoção, haha

Polinômios e complexos realmente, não tem melhor não, haha

Para a função ter raiz dupla (ou tripla) o seu gráfico deve ser tangente ao eixo x

Logo, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico neste ponto de tangência deve ser nulo, isto é, a derivada da função neste ponto deve ser nula:

f(×) = 2×^3 +3×^2 - 12× + k 

f '(×) = 6×^2 + 6× - 12 = 0 ---> ×^2 + × - 2 = 0 ---> x' = - 2, ×" = 1

Calculando f(-2) e f(1) chega-se a k = - 20 e k = 7

Logo, devemos ter k diferente de - 20 e de 7

Élcio

Sim. Mas apenas isso não garante que as raízes sejam todas reais ou que tenha-se 1 real e 2 imaginárias, Élcio. Isso é o que o exercício quer.

Spawnftw, veja o porque dos intervalos dados.

 Já sabemos que para k = -20 ou k = 7, temos raízes duplas (ou triplas). Isso ocorre porque para esses valores de k, o discriminante do polinômio é igual à zero. Sabemos ainda que para termos 3 raízes reais distintas, o discriminante deve ser maior do que zero. Isso ocorre para o intervalo -20 < k < 7. Para termos 1 raiz real e 2 raízes imaginárias, o discriminante deve ser menor do que zero. Isso ocorre para os intervalos k < -20 ou k > 7. Esse é o porquê dos intervalos.

Espero ter ajudado. Se ainda restar alguma dúvida, me avise.

Abraços,
Pedro