Função Polinomial II

por spawnftw Ter 18 Fev 2014, 02:38

Consideremos o polinômio P(x) = 2x³ + 3x² - 12x + k, onde k é real.

a) Determine os valores de k para os quais o polinômio tem 3 raízes reais distintas.

b) Determine os valores de k para os quais o polinômio admite uma raiz real e duas imaginárias.

Gabarito:

por PedroCunha Ter 18 Fev 2014, 11:35

Olá, spawnftw.

Creio que essa questão só sai com conhecimento do ensino superior. Provavelmente continuidade de uma função e Teorema do Valor Médio.

Onde você encontrou ela?

Alguém pode nos ajudar?

Att.,
Pedro

por spawnftw Ter 18 Fev 2014, 14:13

Pedro, encontrei ela na nova versão do Fme!! mas essa tem em listas ITA/IME também
bati cabeça nessa questão, saiu nada aqui =p

por PedroCunha Ter 18 Fev 2014, 14:36

Spawnftw, em qual tópico do FME está essa questão? Às vezes pela matéria a gente consegue chegar em alguma coisa.

Abraços,
Pedro

por PedroCunha Ter 18 Fev 2014, 14:42

Spawnftw, uma maneira a seguinte.

Para uma equação do terceiro grau qualquer, o discriminante da mesma é dado por:

$Função Polinomial II Mathtex$
$Função Polinomial II Mathtex$ três raízes reais distintas.
$Função Polinomial II Mathtex$ raízes reais e múltiplas.
$Função Polinomial II Mathtex$ uma raiz real e duas imaginárias.

Aplicando isso ao exercício, chegamos nas respostas desejadas.

por spawnftw Ter 18 Fev 2014, 14:52

Pedro, em função Polinomial mesmo!

única coisa que sei é que para k = 7 ou k = -20
a função admite raiz dupla

por spawnftw Ter 18 Fev 2014, 14:54

PedroCunha escreveu:Spawnftw, uma maneira a seguinte.

Para uma equação do terceiro grau qualquer, o discriminante da mesma é dado por:

$Função Polinomial II Mathtex$
$Função Polinomial II Mathtex$ três raízes reais distintas.
$Função Polinomial II Mathtex$ raízes reais e múltiplas.
$Função Polinomial II Mathtex$ uma raiz real e duas imaginárias.

Aplicando isso ao exercício, chegamos nas respostas desejadas.

Valeu Pedro, vou fazer aqui =D

por PedroCunha Ter 18 Fev 2014, 15:01

Vou tentar o seguinte.

Vamos encontrar os pontos críticos da derivada de P(x).

P'(x) = 6x² + 6x - 12 .:. P'(x) = x² + x - 2

x = (-1 +- 3)/2 .:. x' = 1 ou x'' = -2

P(1) = 2*1³ + 3*1² - 12*1 + k .:. P(1) = -7+k
P(-2) = 2*(-2)³ + 3*(-2)² - 12*(-2) + k .:. P(-2) = k + 20

Para admitir raiz dupla, k = 7 ou k = -20, logo, para 3 raízes reais e distintas:

-20 < k < 7

Agora, para termos raízes complexas: k < -20 ou k > 7

Seria isso?

Abraços,
Pedro

por spawnftw Ter 18 Fev 2014, 15:07

PedroCunha escreveu:Vou tentar o seguinte.

Vamos encontrar os pontos críticos da derivada de P(x).

P'(x) = 6x² + 6x - 12 .:. P'(x) = x² + x - 2

x = (-1 +- 3)/2 .:. x' = 1 ou x'' = -2

P(1) = 2*1³ + 3*1² - 12*1 + k .:. P(1) = -7+k
P(-2) = 2*(-2)³ + 3*(-2)² - 12*(-2) + k .:. P(-2) = k + 20

Para admitir raiz dupla, k = 7 ou k = -20, logo, para 3 raízes reais e distintas:

-20 < k < 7

Agora, para termos raízes complexas: k < -20 ou k > 7

Seria isso?

Abraços,
Pedro

Sim seria isso, mas não entendi o por que de k, ter que estar nesses intervalos.

Usando o discriminante para a equação do terceiro grau, o gabarito se confirma.
porém, diga-se de passagem não é muito trivial usa-ló.