função polinomial

por resgatemilitar_ Qua 25 maio 2022, 20:49

Seja uma função f(x) do terceiro grau, tal que f(2)=8, f(f(2))=518, f(0)=-2 e f(1)=0. Determine as raízes complexas.

Alguém pode me ajudar nessa desgrama? nao sei o gab

por **Giovana Martins** Qua 25 maio 2022, 21:01

Seja f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Pelo enunciado, f(0) = -2, então: d = - 2. Reescrevendo f(x): f(x) = ax³ + bx² + cx - 2.

Novamente pelo enunciado: f(1) = 0, o que implica: a + b + c - 2 = 0, ou, a + b + c = 2 (I).

Sendo f(2) = 8: 8a + 4b + 2c - 2 = 8, logo, 4a + 2b + c = 5 (II).

Por fim, f(f(2)) = f( Cool

= 518, o que implica: 64a + 8b + c = 65 (III)

De (I), (II) e (III): a = 1, b = 0 e c = 1.

Então, f(x) = x³ + x - 2.

Verificação:

1) f(2) = 8, logo, f(2) = 8 = (2)³ + 2 - 2 = 8 (Ok!)

2) f(f(2)) = 518, logo, f(f(2)) = f( Cool

= (

³ + 8 - 2 = 518 (Ok!)

3) f(0) = - 2, logo, f(0) = (0)³ + 0 - 2 = - 2 (Ok!)

4) f(1) = 0, logo, f(1) = (1)³ + 1 - 2 = 0 (Ok!)

por **Giovana Martins** Qua 25 maio 2022, 21:06

Eu esqueci de determinar as raízes de f(x). Pois bem, pelo Teorema das Raízes Racionais concluímos que x = 1 é raiz de f(x). Por Briot - Ruffini, portanto, podemos escrever f(x) como f(x) = x³ + x - 2 = (x - 1)(x² + x + 2). Desse modo, para determinarmos as raízes de f(x), queremos f(x) = 0. Logo:

(x - 1)(x² + x + 2) = 0, de onde vem x = 1 (raiz real de f(x)) e x² + x + 2 = 0, equação que nos fornece x = -0.5 ± 0.5i√7.

por resgatemilitar_ Qui 26 maio 2022, 09:19

QUANDO EU CRESCER QUERO SER IGUAL A VOCÊ! OBRIGADA!

por resgatemilitar_ Qui 26 maio 2022, 09:21

Só uma mais uma dúvida, eu fiz exatamente assim, porém na hora de achar as raízes fiz por Girard e só a parte real deu bom, a parte imaginária não deu o mesmo resultado... Eu que fiz conta errada ou tem alguma restrição na relação??

por **Giovana Martins** Sex 27 maio 2022, 07:25

Muito obrigada!

A propósito, me perdoe a demora.

Então, quanto ao uso das relações de Girard para descobrir as raízes complexas de um polinômio, isso acaba não sendo muito comum, pois não é fácil pensar, por exemplo, em dois números que somados resultem em -1 (-b/a) e que quando multiplicados resultem em 1 (c/a), justamente pelo fato de que esses dois números são números complexos.

Em se tratando de um polinômio de grau 2 que possua raízes complexas, o mais interessante seria descobrir essas raízes por Bháskara.