Função Polinomial

Mostre que o polinômio P(x) = -x³ + x² + 3x + 4 é sempre decrescente.

Olá, spawnftw.

Vejamos, antes de mais nada, se a afirmação é verdadeira.

P(2) = -2³ + 2² + 3*2 + 4 .:. P(2) = -8 + 4 + 6 + 4 .:. P(2) = 6
P(1) = -1³ + 1² + 3*1 + 4 .:. P(1) = 7
P(0) = -0³ + 0² + 3*0 + 4 .:. P(0) = 4

A afirmação é falsa. Para uma função decrescente, se a > b, então f(a) < f(b).

Veja que 1 > 0, mas p(1) > p(0), o contraria a definição de função decrescente.

Podemos testar para mais valores, como por exemplo:

p(-1) = -(-1)³ + (-1)² + 3*(-1) + 4 .:. p(-1) = 1 + 1 - 3 + 4 .:. p(-1) = 3

Agora, 0 > -1, mas p(0) > p(-1), o que, novamente, contrária a definição de função decrescente.

Podemos ainda fazer o seguinte.

A derivada de p(x) é p'(x) = -3x² + 2x + 3, cujas raízes são (1 +- √10)/3. Temos então três intervalos para analisar:

[ -∞ , (1-√10)/3 ], [ (1-√10)/3, (1+√10)/3 ], [ (1+√10)/3, +∞ ]

Vamos pegar dois valores de cada intervalo:

I: .p(-4) = -(-4³) + (-4)² + 3*(-4) + 4 .:. p(-4) = 72
   .p(-2) = -(-2)³ + (-2)² + 3*(-2) + 4 .:. p(-2) = 10

-2 > -4, p(-2) < p(-4), --> p(x) é decrescente no intervalo 1

II: .p(0) = -0³ + 0² + 3*0 + 4 .:. p(0) = 4
     .p(1) = -1³ + 1² + 3*1 + 4 .:. p(1) = 7

1 > 0, p(1) > p(0), --> p(x) é crescente no intervalo 2

III: .p(2) = -2³ + 2² + 3*2 +4 .:. p(2) = 6
      .p(3) = -3³ + 3² + 3*3 + 4 .:. p(3) = -5

3 > 2, p(3) < p(2), --> p(x) é decrescente no intervalo 3

Como podemos observar, a afirmação não é verdadeira. P(x) não é sempre decrescente. 

Espero ter podido ajudá-lo. Qualquer coisa, me avise.

Abraços,
Pedro

Olá Pedro, por isso postei a questão, pois cheguei a mesma conclusão que você.

Valeu