OBM-1997, 1° Fase Junior. Questão 07.c/tentativa

por Viniciuscoelho Sex 30 Abr 2010, 09:40

7) O número de pares (x, y) de reais que satisfazem o sistema de equações:
$\left\{\begin{matrix} x^2-xy-y^2+1=0\\ x^3-x^2y-xy^2+x-y+2=0\\ \end{matrix}\right.$

é igual a:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Gabarito: letra c.
http://www.obm.org.br/opencms/provas_gabaritos/docs/1997/junior1.htm

Minha tentativa:
$\\\left\{\begin{matrix} x^2-xy-y^2+1=0\\ x^3-x^2y-xy^2+x-y+2=0\\ \end{matrix}\right.\\ (x+y)(x-y)=x^2-y^2\\ (x^2-y^2).(x+y)=x^3+x^2.y-y^2x-y^3\\ (x^2-y^2).(x-y)=x^3-x^2.y-y^2x+y^3\\\\ x^2-xy-y^2+1=0\rightarrow x^2-y^2=xy-1\\ x^3-x^2y-xy^2+x-y+2=0\rightarrow (x^2-y^2).(x-y)-y^3+x-y+2=0\\ Substituindo:\\ (xy-1).(x-y)-y^3+x-y+2=0\rightarrow x^2y-y^2x-x+y-y^3+x-y+2=0\\ x^2y-y^2x-y^3+2=0\rightarrow ???$

por **luiseduardo** Sex 30 Abr 2010, 20:38

Olá Vinicius,
Olhe minha resolução, se surgir dúvidas é só falar Wink

x² - xy - y² + 1 = 0
(x+y)(x-y) = xy - 1
x² - y² = xy - 1

x³ - x²y - xy² + x - y + 2 = 0
x(x² - y²) - x²y + x - y + 2 = 0

x(xy - 1) - x(xy - 1) - y + 2 = 0

y = 2

x² - y² = xy - 1
x² - 4 = 2x - 1
x² - 2x - 3 = 0

X1 = 3
X2 = -1

Testando soluções:

9 - 4 = 3.2 - 1
5 = 5

1 - 4 = -2 - 1
- 3 = -3

(x;y)

(3;2), (-1,2) ----> Duas soluções !

Espero que ajude Wink