OBM, 1997, 1°Fase Junior. Questão 18

18) Um triângulo ABC, de lados AB = c, AC = b e BC = a, tem perímetro 2p. Uma circunferência tangencia o lado BC e os prolongamentos dos lados AB e AC nos pontos P, Q e R, respectivamente. O comprimento AR é igual a:
A) p - a B) p - b C) p - c D) p E) 2p

Gabarito: letra d

Como a demonstração vale para QUALQUER triângulo eu vou escolher uma caso particular para facilitar a demonstração.

Seja o triângulo retângulo isósceles ABC tal que  = 90º , AB = AC = x e BC = x*V2

Desenhe a circunferência de centro O e marque os pontos de tangência P, Q, R.

Ponto P no meio da hipotenusa BC ----> PB = PC = x*V2/2

OP = OQ = OR = raio r da circunferência.

B é um ponto comum a duas tangentes à circunferência ----> BQ = BP = x*V2/2
C é um ponto comum a duas tangentes à circunferência ----> CR = CP = x*V2/2

Perímetro do triângulo ---> 2p = AB + AC + BC ---> 2p = x + x + x*V2 --->

2p = x(2 + V2)


AR = AC + CQ ----> AR = x + x*V2/2 ----> AR = x*(2 + V2)/2 ----> AR = p

Muito obrigado, Mestre Elcio, pela solução.

nao tem sentido vc dizer mestre que bc=a*raiz de 2 pois o enuciado diz que bc=a

thiago

O triângulo que eu escolhi é um triângulo especial: retângulo isósceles de catetos a e hipotenusa a*\/2.

Eu poderia ter dado um outro nome QUALQUER aos catetos, por exemplo x. neste caso a hipotenusa seria x*\/2 e valeria a mesma demonstração. Vou mudar para não causar confusão para outros usuários.