foco e diretiz da parábola
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foco e diretiz da parábola
por mauk03 Qua 22 Jan 2014, 12:37
Determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto P da parábola y² = 8x de modo que o segmento perpendicular traçado de P até a diretriz da parábola e o segmento traçado de P até o foco da parábola sejam dois lados de um triângulo equilátero.
- resposta:
- (6, 4√3) e (6, -4√3)
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Re: foco e diretiz da parábola
por Euclides Qua 22 Jan 2014, 14:21
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Re: foco e diretiz da parábola
por mauk03 Qua 22 Jan 2014, 18:35
Solução algébrica:
- A parábola y² = 8x tem foco F(2, 0) e diretriz (d) x = -2;
- Os pontos de d são da forma D(-2, y);
- Os pontos P da parábola tem mesma ordenada que D (pois PD⊥d), e portanto tem-se P(x, y);
- Para PD, PF e DF serem lados de um triângulo equilátero, deve-se ter d(P, D) = d(P, F) = d(D, F).
.:. d(P, F)² = d(D, F)² --> (x - 2)² + y² = 4² + y² --> x - 2 = +-4 --> x = 6 ou x = -2 (não serve, pois x = y²/8 ≥ 0)
Para x = 6, tem-se y² = 48 --> y = +-4√3. Pontos (6, 4√3) e (6, -4√3).
- A parábola y² = 8x tem foco F(2, 0) e diretriz (d) x = -2;
- Os pontos de d são da forma D(-2, y);
- Os pontos P da parábola tem mesma ordenada que D (pois PD⊥d), e portanto tem-se P(x, y);
- Para PD, PF e DF serem lados de um triângulo equilátero, deve-se ter d(P, D) = d(P, F) = d(D, F).
.:. d(P, F)² = d(D, F)² --> (x - 2)² + y² = 4² + y² --> x - 2 = +-4 --> x = 6 ou x = -2 (não serve, pois x = y²/8 ≥ 0)
Para x = 6, tem-se y² = 48 --> y = +-4√3. Pontos (6, 4√3) e (6, -4√3).
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