Poligonos
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Poligonos
por Dinff Sáb 11 Jan 2014, 16:19
Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, contruímos a poligonal L = BCB1C1B2C2B3C3... O comprimento de L é :
resposta: 2c
resposta: 2c
Dinff- Iniciante
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Re: Poligonos
por PedroCunha Sáb 11 Jan 2014, 23:41
Veja:
BC = a
B1C = a
cos 60° = B1C1/B1C
1/2 = B1C1/a
B1C1 = a/2
B2C1 = a/2
cos 60° = B2C2/B2C1
1/2 = B2C2/(a/2)
B2C2 = a/4
B3C2 = a/4
cos 60° = B3C3/B3C2
1/2 = B3C3/(a/4)
B3C3 = a/8
Assumindo que continue-se a construir infinitos triângulos, teremos uma P.G. de razão:
[a/2]/a = (a/4)/(a/2) = (a/8 )/(a/4)
1/2 = 1/2 = 1/2 --> q = 1/2
Veja que a soma fica da seguinte maneira:
a + a + 2*(a/2) + 2*(a/4) + 2*(a/8 ) + 2 * (a/16) + ...
2 * (a + a/2 + a/4 + a/8 + a/16 + ...)
Dentro dos parênteses temos uma soma de P.G. infinita de a1 = a, q = 1/2:
S = a1/(1-q)
S = a/(1-1/2)
S = 2a
Logo:
L = 4a
Agora, no triângulo ABC:
cos 60° = a/c
1/2 = a/c
c = 2a
De onde concluímos: L = 2c
É isso.
Att.,
Pedro
BC = a
B1C = a
cos 60° = B1C1/B1C
1/2 = B1C1/a
B1C1 = a/2
B2C1 = a/2
cos 60° = B2C2/B2C1
1/2 = B2C2/(a/2)
B2C2 = a/4
B3C2 = a/4
cos 60° = B3C3/B3C2
1/2 = B3C3/(a/4)
B3C3 = a/8
Assumindo que continue-se a construir infinitos triângulos, teremos uma P.G. de razão:
[a/2]/a = (a/4)/(a/2) = (a/8 )/(a/4)
1/2 = 1/2 = 1/2 --> q = 1/2
Veja que a soma fica da seguinte maneira:
a + a + 2*(a/2) + 2*(a/4) + 2*(a/8 ) + 2 * (a/16) + ...
2 * (a + a/2 + a/4 + a/8 + a/16 + ...)
Dentro dos parênteses temos uma soma de P.G. infinita de a1 = a, q = 1/2:
S = a1/(1-q)
S = a/(1-1/2)
S = 2a
Logo:
L = 4a
Agora, no triângulo ABC:
cos 60° = a/c
1/2 = a/c
c = 2a
De onde concluímos: L = 2c
É isso.
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Re: Poligonos
por Medeiros Dom 12 Jan 2014, 00:34
Pedro,
quando você considera "cos 60° = B1C1/B1C", está supondo que o ângulo ^CC1B1 é reto;
mais a frente, coerentemente, também considerou que o ângulo ^ACB é reto;
o que nos garante isso?
quando você considera "cos 60° = B1C1/B1C", está supondo que o ângulo ^CC1B1 é reto;
mais a frente, coerentemente, também considerou que o ângulo ^ACB é reto;
o que nos garante isso?
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Re: Poligonos
por PedroCunha Dom 12 Jan 2014, 00:42
¹ Link corrigido
Não tenho garantias, Medeiros. Supus que fosse.
A outra maneira de resolver é a apresentada no seguinte tópico:
FATEC - Triângulos
Foi no 'olhômetro'. Creio que não seja a solução mais apropriada.
Att.,
Pedro
Não tenho garantias, Medeiros. Supus que fosse.
A outra maneira de resolver é a apresentada no seguinte tópico:
FATEC - Triângulos
Foi no 'olhômetro'. Creio que não seja a solução mais apropriada.
Att.,
Pedro
Última edição por PedroCunha em Dom 12 Jan 2014, 01:00, editado 1 vez(es)
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Re: Poligonos
por Medeiros Dom 12 Jan 2014, 00:52
De fato, deve ser pois você acertou o gabarito. Supôs muito bem, tá com faro apurado.
Vou dar uma olhada na outra solução que você indicou. ----adendo----> não vou mais: eles exigem login e não faço cadastro em tudo quanto é lugar.
Abs.
Vou dar uma olhada na outra solução que você indicou. ----adendo----> não vou mais: eles exigem login e não faço cadastro em tudo quanto é lugar.
Abs.
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Re: Poligonos
por PedroCunha Dom 12 Jan 2014, 00:58
Perdão, perdão, Medeiros.
Que burrice a minha!
Copiei o link errado.
Pode clicar agora que vai ser o certo.
Perdão novamente!
Att.,
Pedro
Que burrice a minha!
Copiei o link errado.
Pode clicar agora que vai ser o certo.
Perdão novamente!
Att.,
Pedro
PedroCunha- Monitor
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Re: Poligonos
por Medeiros Dom 12 Jan 2014, 02:04
Ôooo.... Pedro, adorei aquela resposta, brilhante! E eu vou aprendendo.
obrigado pelo link.
obrigado pelo link.
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Re: Poligonos
por Elcioschin Dom 12 Jan 2014, 10:01
O enunciado da questão deixa a desejar, não informando que BC, B1C1, B2C2, B3C3 .... são perpendiculares a AC. Isto implicaria que o triângulo ABC é retângulo em C.
A própria figura engana, já que está malfeita, dando a entender que estes ângulos não são retos.
A própria figura engana, já que está malfeita, dando a entender que estes ângulos não são retos.
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Re: Poligonos
por Medeiros Dom 12 Jan 2014, 14:14
Na realidade, Elcioschin, o triângulo ABC não precisa ser reto em C, basta ser maior do que 60º. Facilitaria muito se fosse mas poderíamos, por exemplo, ter um ângulo de 10º em A.
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