Ita 1967

Um polinômio P(X) tem a propriedade P(x)≡P(-x-1) Definindo um novo polinômio Q(X)≡P(f(x)), obtemos Q(x)≡Q(-x) quando f(x) for igual a:

Resposta: x- 1/2

Alguém poderia me ajudar nessa?

Alguém?

Consegui encontrar uma função diferente da mostrada na resposta e que satisfaz as condições.

Primeiro, considere P(x) como sendo um polinômio genérico:
P(x) = a[n].x^n + ... + a[0].

1) P(x) ≡ P(x - 1) => a[n].(x^n - [(x - 1)^n]) + ... + a[1] = 0 -> (eq1).

2) Q(x)≡P(f(x)) => Q(x) = a[n].(f(x))^n + ... + a[0].

Fazendo Q(x) = Q(-x) para encontrar f(x):
a[n].[(f(x))^n - (-f(x))^n] + ... + 2.a[1].f(x) = 0 -> (eq2).

3) De (eq1) e (eq2):
a[n].(x^n - [(x - 1)^n]) + ... + a[1] ≡ a[n].[(f(x))^n - (-f(x))^n] + ... + 2.a[1].f(x) =>
=> f(x) = x e -f(x) = x - 1 => f(x) = x = 1 - x <=> x = 1/2 =>
=> f(x) = 1/2.

Obrigado!

Show de bola.

Pedro

O 2º polinômio é P(- x - 1)

Obrigado pelo aviso!

Tentarei novamente:

P(x) ≡ P(-x - 1) -> (id.1).

Impondo Q(x) ≡ P(f(x)) => Q(x) ≡ Q(-x) e de (id.1), vem:

P(f(x)) ≡ P(-f(x) - 1) ≡ P(f(-x)) ≡ P(-f(-x) - 1) =>
=> f(x) = -f(x) - 1 = f(-x) = -f(-x) - 1 -> (*).

A única solução que eu encontrei para o sistema de equações funcionais (*) foi
f(x) = -1/2.