Determine cotg

determine o valor de:

cotg10°.cotg30°.cotg50°.cotg70°

José Carlos

Houve um equívoco:

sen10° = cos80°

sen30 = cos60°

sen50 = cos40°

Fiz na calculadora e a resposta é 3

Caramba, que vacilo, vou riscar para não induzir alguém ao erro.

Obrigado Elcio.

ninguem conseguiu alguma solução?eu pensei em calcular o valor de cada cotangente na bronquidão usando soma e subtração de arcos e arco metade,mas ficaria trabalhosa demais e essa questão tem cara de que vai ter alguma solução melhor

Quebrei a cabeça nessa   , segue a solução:
P = cos10ºcos30ºcos50ºcos70º
P = (√3/2)cos10º(cos50ºcos70º)
cospcosq = (1/2)[cos(p+q) + cos(p-q)]
cos50ºcos70º = (1/2)[ cos120º + cos(-20º)]
P = (√3/4)cos10º[cos120º + cos20º ]
P = (√3/4)[cos10ºcos120º + cos10ºcos20º ] 
usando novamente transformação de produto em soma:
P = (√3/8 ) [ cos130º + cos110º + cos30º + cos10º ] 
P = (√3/8 ) [ √3/2 + (cos110º + cos10º) + cos130º ]
cosp + cosq = 1/2[ cos[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]
P = (√3/8 ) [ √3/2 + (1/2)cos60ºcos50º + cos130º ]
P = (√3/8 ) [ √3/2 + cos50º + cos130º ] 
cos(180-x) = -cosx , logo cos50º = -cos130º
P = 3/16

P' = sen10ºsen30ºsen50ºsen70º
P'sen20ºsen40ºsen60ºsen80º = sen10ºsen20ºsen30ºsen40ºsen50ºsen60ºsen70ºsen80º

Note que sen80º = cos10º , sen70º=cos20º , sen50º=cos40º ,sen60º=cos30º
Então temos:
P'sen20ºsen40ºsen60ºsen80º = (sen10ºcos10º)(sen20ºcos20º)(sen30ºcos30º)(sen40ºcos40º)

(2^4)P'senn20ºsen40ºsen60ºsen80º = (2sen10ºcos10º)(2sen20ºcos20º)(2sen30ºcos30º)(2sen40ºcos40º)

(2^4)P'sen20ºsen40ºsen60ºsen80º = sen20ºsen40ºsen60ºsen80º

P' = 1/16
Logo cotg10ºcotg30ºcotg50ºcotg70º = (3/16)/(1/16) = 3

obs. o produto dos cossenos, eu meio que calculei na 'raça' pois não achei outro modo, mas não foi tão trabalhoso por só possuir três fatores.. porém pesquisando encontrei a fórmula geral para o produto de cossenos com ângulos em PA em uma questão,cuja demo deve ser a ideia boa para calcular este produto.. mas ainda nao sei provar:
https://pir2.forumeiros.com/t58167-peru-trigonometria#204676
conhecendo ela, bastava fazer 2pi/18 = pi/(2n+1) -> n = 4 , que obteríamos P = 3/16