tg x = cotg x

por Mathematicien Sáb 01 Jul 2017, 19:25

Boa noite!

Eu fiz o gráfico de tg(x) e cotg(x) e vi que se entrelaçam em alguns pontos.

Daí tentei fazer tg x = cotg x para saber que pontos são esses.

tg x = 1 / tg x

tg²x = 1

tg²x = tg(pi/4 + k.pi)

E agora, como continuo?

Obrigado

por **Victor011** Sáb 01 Jul 2017, 19:39

Veja:

tg x=cotg x\iff tg x=\frac{1}{tg x}\iff tg^2 x=1

Como tg x é um número real, teremos dois casos: tg x=1 ou tg x=-1.

Analisando o primeiro caso:

tg x=1\iff x=\frac{\pi}{4}+k\pi\;\;\;com\;k\in \mathbb{Z}

Analisando o segundo caso:

tg x=-1\iff x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\;\;\;com\;k\in \mathbb{Z}

Fazendo a união dos resultados encontrados:

\boxed{S=\{x\in\Re/\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\;com\;k\in \mathbb{Z}\}}

por Mathematicien Sáb 01 Jul 2017, 21:24

Victor, eu acho que entendi, mas ainda me sinto inseguro. Pode me explicar mais detalhadamente a parte da união dos resultados encontrados? Como as duas últimas equações se tornam essa solução geral?

por **Victor011** Sáb 01 Jul 2017, 22:04

primeiro caso:{...,-3π/4, π/4, 5π/4,...}
Segundo caso:{...,-π/4, 3π/4, 7π/4,...}
União dos casos:{...,-3π/4, -π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4,...}
Note que os resultados da união "pulam" de π/2 em π/2, por isso o +kπ/2 na resposta. Eu escrevi dessa forma só para ficar mais bonito, mas poderia ter deixado a resposta da seguinte forma: (o símbolo "V" significa "ou")

S\{x\in\Re/x=\frac{\pi}{4}+k\pi\vee x=\frac{3\pi}{4}+k\pi,\;com\;k\in \mathbb{Z}\}

É possível ver pelo círculo trigonométrico também. Note que as soluções do caso 1, por exemplo, nada mais são do que pegar o π/4 e ficar dando meia volta no círculo. Veja:

por Mathematicien Sáb 01 Jul 2017, 22:12

Agora entendi perfeitamente!! Obrigado, Victor!!

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