Vértices de um Retângulo

Boa noite prezados usuários do Pir²!

Preciso de ajuda para resolver o problema abaixo:

Os pontos A = (1,0), B = (0,1) e C (2,a) são vértices consecutivos de um retângulo. Encontre o valor de a (ordenada do ponto C) e escreva as coordenadas do quarto vértice D.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Equação da reta AB
faz o det=0
deve encontrar -y-x+1=0
mas, note que a reta AB é perpendicular a reta BC
entao
m1=-1/m2
onde m1 é o coeficiente angular da reta AB
e m2 é o coeficiente angular da reta BC
m1=1
entao
1=-1/m2
m2=-1

equação da reta BC
(y-yo)=m2(x-x0)
y-1=-x
y=-x+1

substituindo a coordenada do ponto C
a=-2+1
a=-1

faz de modo análogo para achar a coordenada do vértice D

espero que seja isso

Infelizmente está errado:

Reta AB ----> y = -x + 1 ----> coeficiente angular m1 = - 1

Reta BC ----> m2 = + 1 -----> y = x + 1

Para xC = 2 ---> yC = = 2 + 1 ----> yC = 3 ---> a = 3

Equação da reta CD ----> m3 = - 1 ----> y - 3 = -1(x - 2) ----> y = -x + 5

Equação da reta BD ----> m4 = + 1 ----> y - 0 = 1*(x - 1) ----> y = x - 1

POnto D de encontro das retas CD e BD ----> xD - 1 = - xD + 5 ----> xD = 3 ----> yD = 2 -----> D(3, 2)

Boa tarde Elcio!

Elcio, estive analisando sua resolução!

Tenho alguns questionamentos a fazer (não repare, são muito básicos.. mas a minha intenção é aprender). Vamos lá:

1) Eu havia tentado resolver este exercício utilizando distância entre dois pontos (pensei também em igualar os lados referentes a altura e a base - dado que são iguais). Por que você começa calculando o coeficiente angular das retas?

2) Tem como resolver o exercício utizando distância entre dois pontos?

3) Quanto ao coeficiente angular da reta BC, resolvo assim -->



Onde está o erro do item 3?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Pietro

Respondendo suas questões:

1) Não dá para resolver usando distância entre dois pontos pois só se conhece um dos lados do retângulo (lado AB = lado CD). Para calcular o lado BC (igual ao lado CD) é necessário calcular primeiro o vértice C(2, a).

Para fazer isto faça o seguinte:

1a) Desenhe num sistema xOy os pontos A(1,0) e B(0,1) e trace o lado AB.
1b) Pelo ponto B trace uma perpendicular pontilhada ao lado AB. Esta reta pontilhada contém o vértice C (2, a).
1c) Marque no eixo X o ponto 2 (abcissa de C). Por este ponto trace uma reta pontilhada perpendicular ao eixo X até encontrar a reta pontilhada do item anterior.
1d) O ponto de encontro das duas retas pontilhadas é o vértice C do retângulo.

Vamos agora resolver isto algebricamente:

1a) Inicialmente é preciso calcular o coeficiente angular m1 da reta AB da reta AB:

m1 = (yB - yA)/(xB - xA) ----> m1 = (1 - 0)/(0 - 1) ---> m1 = - 1

Neste ponto houve um erro de cálculo do colega Igor (m1 = + 1)

1b) A reta BC é perpendiciular à reta AB (por construção, já que a figura é um retângulo). Logo. o coeficiente angular m2 da reta BC vale m2 = + 1.

A equação da reta BC é y - yB = m2*(x - xB) ----> y - 1 = 1*(x - 1) ---> y = x + 1

1c) O ponto de encontro desta reta com a reta pontilhada x = 2 é obtido fazendo-se x = 2 e y = a na equação de BC ----> a = 2 + 1 ----> a = 3

Temos portanto o ponto C(2, 3) como vértice do retângulo.

Assim, não existe erro no seu item 3 ----> mBC = (a - 1)/2

Basta fazer mBC = 1 ----> 1 = (a - 1)/2 ----> a = 3

Veja que a sua solução para o fator "a" é a mesma minha.
Só que para calculá-la você precisa de mBC.
Para obter mBC você precisa primeiro calcular mAB

Raciocínio idêntico pode ser usado para cacular o vértice D.

Espero ter esclarecido suas dúvidas.