Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é

por OliviaTate Qui 30 Abr 2015, 20:30

Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO.
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F.

Gabarito:

por **Euclides** Qui 30 Abr 2015, 23:33

É um exercício meio "chatinho", não é, Olívia? Espero que a construção que fiz, com as medidas indicadas, lhe permitam ver as respostas. Para o triângulo DEF note que os ângulos DÔF e EÔF são ambos iguais a 135° e você pode usar neles a lei dos cossenos.

Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é 100000

Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é 100000

por OliviaTate Sex 01 maio 2015, 00:01

Mestre Euclides, essa questão já me acumulou + de 1 hora de dores de cabeça
Seu desenho me ajudou muito!!! Só precisei arrumar um detalhe no seu desenho, o lado AB mede 8 cm... Por falar em desenho, é muito dificil fazer essas representações geometricas por software?
Eu fiz isso no papel:
Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é Iydhsh

Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é Iydhsh

Eu travei na parte de achar o valor do segmento OG e OH, como eu faço para achar esses valores?

por **Euclides** Sex 01 maio 2015, 00:20

Desenhar com lápis e papel é um hábito muito bom. É só o que você dispõe numa prova. O Geogebra, porém, é um software gratuito e muito fácil de usar.

Download da página oficial

por **Euclides** Sex 01 maio 2015, 00:22

PS: os segmentos que você se referiu estão marcados no meu desenho. Lembre que o centro da circunferência circunscrita é o encontro das mediatrizes dos lados.

por OliviaTate Sex 01 maio 2015, 00:37

Nossa, que bobeira a minha
Novamente vacilando em coisas simples de visualizar
OE = EG + OG(OG é metade do quadrado AB) => OE = 3 + 4 = 7 cm
OF = FH + OH(Metade do quadrado AC) => OF = 4 + 3 = 7 cm
Finalmente consegui!! Obrigada!!
Agora vou para letra b hahaha

por NMS50 Sáb 21 Set 2019, 16:07

Boa tarde! Estou revivendo essa questão pois na questão b o resultado dos cumprimentos do triângulo ficaram: 7√2, 12 e 12. No gabarito está 7√2, √130 e 2√29. Alguém poderia verificar se o gabarito está certo?

por **Elcioschin** Sáb 21 Set 2019, 16:50

Na figura da Olívia:

OB = OC = OD = 5 ---> AH = BH = FH = OG = 4 ---> AG = CG = EG = OH = 3

cosα = OH/OB ---> cosα = 3/5 ---> senα = 4/5
cosβ = OG/OC ---> cosβ = 4/5 ---> senβ = 3/5

DÔF = α + 90º ---> cos(α + 90º) = - senα ---> cosDÔF = - 4/5
DÔE = β + 90º ---> cos(β + 90º) = - senβ ---> cosDÔE = - 3/5

Lei dos ossenos nos triângulos DOF e DOE:

DF² = OD² + OF² - 2.OD.OF.cosDÔF ---> DF² = 5² + 7² - 2.5.7.(-4/5) ---> DF = 2.√30

DE² = OD² + OE² - 2.OD.OE.cosDÔE ---> DE² = 5² + 7² - 2.5.7.(-3/5) ---> DE = 2.√29

O único erro do gabarito foi ter escrito √130: o correto é √30