Números complexos

por Gabriel Rodrigues Sex 16 Ago 2013, 17:05

Determine $z \in \mathbb{C}$ tal que z³ = conjugado de z.

Resp.: 0 ou 1 ou i ou -1 ou -i

por Luck Sáb 17 Ago 2013, 16:06

z³ = z* , z = multiplicando por z:
z^4 = z.z* , z^4 = |z|² , sendo z = |z|cisθ:
|z|^4cis(4θ) = |z|² <=> |z| = 0 ou |z| = 1 ,
para |z| = 0 , z = 0
para |z| = 1 :
cis(4θ) = 1 , 4θ = 2kpi, k ∈ Z
θ = kpi/2 , possíveis complexos : θ {0, pi/2, pi, 3pi/2} , o que nos dá : z = cis(0º) = 1 , z = cis(pi/2) = i ; z = cis(pi) = -1 ; z = cis(3pi/2) = -i
S = {0,1,-1, i, -i}

Sai também chamando z de a+bi e substituindo, porém é um pouco mais trabalhoso:
(a+bi)³ = (a-bi)
a³ + 3a²bi + 3a(bi)² +(bi)³ = a - bi
a³ + 3a²bi -3ab² -b³i = a - bi
(a³ -3ab²) + (3a²b - b³)i = a - bi
a³ -3ab² = a , 3a²b - b³ = - b
se a= 0 e b =0 , z = 0
se a = 0 e b # 0 , -b³ = - b ∴ b² = 1 ∴ b = +-1 ( z = i ou z = -i)
se b = 0 e a# 0 , a³ = a ∴ a² = 1 ∴ a = +-1 ( z = 1 ou z = -1)
se a # 0 e b # 0 :
a² - 3b² = 1 (I) ,3a² - b² = -1 (II) , multiplicando (I) por 3 :
3a² - 9b² = 3 , 3a² - b² = -1 , (I) - (II) :
-8b² = 4 , b² = -1/2 (nao existe)
Logo , S = { 0, i,-i,1, -1}

por gabrielnogueira Dom 09 Ago 2015, 11:02

Alguém saberia dizer por que, na segunda resolução, b=1 e não -1/3?

por Luck Seg 10 Ago 2015, 18:37

gabrielnogueira escreveu:Alguém saberia dizer por que, na segunda resolução, b=1 e não -1/3?

Mas por que b seria -1/3 ? Poste sua tentativa..

por God'splan Qui 07 Jan 2021, 14:30

Oi, Luck! Eu tenho uma dúvida.

Gostei da resolução mas buguei na última parte a qual você escreveu -8b²=4, nesse caso não poderíamos ter uma resposta sendo ela (+/-)i(1/2)¹/²?