Números Complexos

por carlosvinnicius Sáb 10 Mar 2012, 22:04

(U.F. Viçosa-MG) O número complexo $z=\frac{a+bi}{1+i}$ , em que a,b ∈ ℝe i² = -1, tem módulo 1 e parte real igual ao dobro da parte imaginária. Nessas condições, é correto afirmar que a·b é igual a:

a)7/5
b)6/5
c)4/5
d)3/5
e)2/5

Resposta:

Spoiler:

por **JOAO [ITA]** Sáb 10 Mar 2012, 22:56

Olá!

Lembre-se que:

$z = p + ri$

Donde:

''p'' é a parte real e ''r'' a parte imaginária.

E que:

$|z| = \sqrt{p^{2}+r^{2}}$

Valeu!

por carlosvinnicius Sáb 10 Mar 2012, 23:10

Já tentei, mas não sei como faço com esse "dobro da parte imaginária", se devo tirar o módulo igualando a=2b ou não. Pensei em colocar na forma trigonométrica também mas não ajuda pois não há valores...

por **JOAO [ITA]** Dom 11 Mar 2012, 02:19

Olá, amigo!

O segredo desse exercício é que ,primeiro de tudo, você tinha que deixar o denominador desse número real para, só então, colocá-lo na forma $p + ri$ .

Bem, vamos lá:

$\frac{a+bi}{1+i}. \frac{1-i}{1-i} = \frac{a+bi.(1-i)}{2}=\frac{a+b+(b-a)i}{2}$

.Donde:

A parte real é: $\frac{a+b}{2}$

E a parte imaginária é: $\frac{b-a}{2}$

.Assim:

$|z| = \sqrt{(\frac{a+b}{2})^2 + (\frac{b-a}{2})^{2} } =1 <=> \\ (\frac{a+b}{2})^2 + (\frac{b-a}{2})^{2} = 1 <=>\\ \frac{a^2 + 2ab + b^2 + b^2 - 2ab + a^2}{4}=1<=>\\ a^2 + 2ab + b^2 + b^2 - 2ab + a^2 = 4 <=>\\ 2.(a^2 + b^2) = 4 <=> a^2 + b^2 = 2$ (1)

$\frac{a+b}{2}=\frac{2(b-a)}{2}<=>\frac{a+b}{2}=b-a<=>b = 3a$ (2)

.Substituindo (2) em (1), vem que:

$a = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$b = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

.Donde concluímos, finalmente, que:

$a.b = \frac{\sqrt{5}}{5}.\frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{15}{25}=\frac{3}{5}$

Alternativa "D".

Caso não tenha entendido algo, favor comunicar.

OBS: Desculpe-me pela dica errada anteriormente. É que eu vi de primeira o exercício e acabei me equivocando.

Abraços!

por carlosvinnicius Dom 11 Mar 2012, 15:18

Não entendi porque ficou $\inline \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Não ficaria $\inline a^2+(3a)^2=2$ $\inline \Rightarrow$

$\inline a^2+9a^2=2 \Rightarrow 10a^2=2 \Rightarrow a=\sqrt{\frac{1}{5}}$ ?

por **JOAO [ITA]** Dom 11 Mar 2012, 17:38

Olá!

Sim, eu apenas racionalizei o denominador :

$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Dessa forma fica mais fácil trabalhar.