(UnB)Números Complexos

Existe uma associação simples entre os pontos do plano cartesiano xOy e os números complexos, em que cada par de números reais (x, y) do plano cartesiano corresponde ao número complexo z = x + iy. Fazendo essa associação para o plano xOy apresentado no texto II, considere que o canavial III mostrado nesse texto tenha a forma de um paralelogramo cujos vértices, no plano complexo, sejam a origem e os pontos z1, z2 e z1 + z2, em que  e .

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
1) Os quatro lados do canavial III têm comprimentos iguais.
2) os números complexos z1 e z2 satisfazem à identidade:
 
3) A área do canavial III é igual a:
 

Gabarito:
1) Certo
2) Errado
3) Certo.
_____________________________________________________________

Pedro

Existe um erro em: √(2 + √2) = √[(2+1)/2] + √[(2-1)/2] = √3/√2 + 1/√2 = √6/2 + √2/2 = (√6 + √2)/2

Esta radical duplo √(2 + √2) não dá para ser simplificado em dois radicais simples:

√(A + √B) = √(x) + √(y) ----> x = [A + √(A² - B)]/2 , y = [A - √(A² - B)]/2

Para A = 2 e B = 2 ---> (A² - B) não é um quadrado perfeito


Assim, cos(45/2) = √(2 + √2)/2 e sen(45/2) = √(2 - √2)/2



z1 = 2.[√(2 + √2)/2] + i.√(2 - √2)/2] 

É verdade. Falta de atenção.

Poderia resolver a questão, Élcio?

Abraços,
Pedro

Pedro

Acho mais fácil desenhar os vetores representativos dos quatro complexos

1) A origem O(0, 0) é um dos vértices do paralelogramo 
2) Outro vértice (P) tem módulo 2 e faz um ângulo de (45/2)º com o eixo real
3) O 3ª vértice (Q) tem módulo 2 e faz 45º com o eixo real
4) O 4º vértice (R) é a soma z1 + z2 (basta completar o paralelogramo para entender)

|z1 + z2|² = 2² + 2² - 2.2.2cos(45/2)º ---> Calcule |z1 + z2| 

Este 4º número complexo faz um ângulo de (45/2)º + (45/4)º com o eixo real

A resposta 1 é óbvia já que o paralelogramo tem 4 lados iguais
A resposta 2 está incompleta
A resposta 3, basta calcular a área de um paralelogramo de lado 2 e ângulo agudo de (45/2)º

Élcio, para encontrar a área pensei em dividir o paralelogramo em dois triângulos iguais, cujas bases seriam a distância de z1 até z2 e a altura seria a distância do ponto médio de z1z2 até a origem.

Daria certo assim?

Att.,
Pedro

Área de dois triângulos com lados 2 e 2 e ângulo de 45º entre eles

S = 2.L.L.sen45º/2

S = 2.2.2.(V2/2)


S = 4.\/2

Porque o ângulo é de 45°? Essa é a única maneira? Encontrando a altura da maneira que falei funcionaria? E por fim, como sair de 4√2 e chegar na resposta dada?

Obrigado pela atenção.

Abraços,
Pedro

Desculpe-me, eu cometí um erro: o ângulo entre z1 e z2 vale pi/8 (22,5º)

S = 2.2.2.cos(pi/8 )/2 ---> S = 4.cos(pi/8 )

Não sei como chegar naquela resposta do item 3

Obrigado pelas respostas, realmente só esse item 3 que está encrencando. Se mais alguém tiver uma ideia, por favor mostre! Obrigado!