Questão da Fuvest - Circunferência

por Lucas Lopess Ter 23 Jul 2013, 09:34

(Fuvest-SP) Qual a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que passa pelo ponto (3,4)?

Resposta: 4x² + 4y² - 25y=0

por **Jose Carlos** Ter 23 Jul 2013, 11:20

- circunferência tangente ao eixo x na origem -> passa pelo ponto O( 0, 0 )

- ponto A( 3, 4 ) pertence à circunferência -> passa pelo ponto A( 3, 4 )

- corda da circunferência OA

- reta que passa pelos pontos O e A:

y = (4/3)x

- ponto médio da corda OA:

M( 3/2 , 2 )

- reta perpendicular à reta y = (4/3)x passando pelo ponto M:

y = ( - 6/8 )x + ( 25/8 )

para x = 0 -> y = 25/8 -> ( 0, 25/8 )

- circunferência de centro (0, 25/8 ) e raio = 25/8

64x²+ 64y² - 400y = 0

4x² + 4y² - 25y = 0

por Lucas Lopess Ter 23 Jul 2013, 12:10

Desculpe-me Jose, mas não consegui entender sua explicação, poderia explica-la melhor por favor?

por **Jose Carlos** Ter 23 Jul 2013, 12:38

Dados do enunciado:

circunferência passa pelo ponto ( 3, 4 ) -> vamos chama-lo A( 3, 4 ) e é tangente ao eixo dos X na origem, isto é, passa pelo ponto O( 0, 0 )

- sabemos que a reta que passa pelo ponto médio da corda OA e é perpendicular à mesma, passa pelo centro da circunferência.

- tendo a equação, fazemos x = 0 e obtemos y que será o raio da circunferência.

Tente fazer um desenho, com certeza facilitará seu entendimento, qualquer coisa é só falar.

por Lucas Lopess Ter 23 Jul 2013, 12:40

Por que se igualar o x a 0 da para achar o raio?

por **Jose Carlos** Ter 23 Jul 2013, 21:09

Tentei inserir uma imagem, espero que entenda. Faz-se x = 0 para encontrar o valor de y pois a reta corta o eixo dos y quando x = 0.

https://2img.net/r/ihimizer/img6/6961/uhf9.jpg

por Lucas Lopess Qua 24 Jul 2013, 08:45

Consegui fazer aqui, muito obrigado! Very Happy

por cebdast Sáb 27 Jul 2013, 06:39

pela imagem faz parece que quando é tangente ao eixo x na origem , o ponto O(0,0) dividi a circunferência em duas partes iguais , seria isso ? e se for por quê?

por **Jose Carlos** Qua 31 Jul 2013, 11:07

Olá cebdast,

Observe:

- o ponto O(0, 0) está situado na origem dos eixos coordenados

- o ponto O(0, 0) não divide a circunferência em duas partes iguais, ele é apenas um ponto que pertence à circunferência. Ele está situado sobre o eixo Y que no caso contém um diâmetro da circunferência.

Um abraço.

por rinelly Seg 26 Ago 2013, 21:45

Então, primeiramente boa noite!
Não consegui entender a partir de "reta perpendicular à reta y = (4/3)x passando pelo ponto M:y = ( - 6/8 )x + ( 25/8 )"
Pois não compreendi de qual reta está se referindo. Se puder explicar a partir daí, ficaria grata!