De quantos modos...

De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letras, se a letra A deve figurar na palavra mas não deve ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse ter letras distintas?

A primeira é 439.400??? E a segunda é pra continuar dizendo que A não deve ser a primeira? se for é 345.000??? também fiquei um pouco confuso...

Oi

Se formos contar de quantas maneiras podemos formar palavras em que temos pelo menos um A (que não está na primeira posição), perderemos muito tempo.
Por que então não contamos o número de maneiras que podemos formar palavras em que temos um A na primeira letra ou não temos um A nas demais letras?

No total, considerando que podemos repetir as letras, há 26.26.26.26.26 maneiras de formarmos palavras com as 26 letras do alfabeto.

Agora queremos contar: De quantas maneiras podemos formar palavras em que a letra A:

- Está localizada na primeira letra
ou
- Não se encontra entre nenhuma das demais letras 

Se subtrairmos isso de 26^5, estamos contando o que queremos, certo?
Então vejamos:

Caso 1) Supondo que A é a primeira letra da palavra: 

Ela não se encontra nas palavras que queremos (pois não queremos palavras com a primeira letra A)

Há 26^4 maneiras de formar essas palavras, certo? (Já fixamos A na primeira)

Caso 2) Palavras que não começam com a letra A, mas não possuem nenhuma letra A dentre as demais.

Então, queremos saber quantas palavras de 5 letras podemos formar com um "alfabeto" sem a letra A, ou seja, com 25 letras. Há 25^5 maneiras de formar essas palavras.

Então, se pegarmos todas as possíveis palavras de 5 letras formadas com as 26 letras do alfabeto (26^5 palavras), e subtrairmos os casos que não queremos (caso 1 e 2), chegaremos ao que queremos.

Portanto, há 26^5 - 25^5 - 26^4 maneiras de formar essas palavras.

O outro item se faz de forma análoga, considerando que não temos repetição.

Se eu fiz alguma coisa de errado, me avisem. 

Até

a) Sem letras distintas:

1ª letra -----> 25 possibilidades
2ª letra A ----> 1 possibilidade
3º letra ----> 26 possibilidades
4ª letra ----> 26 possibilidades
5ª letra ----> 26 possibilidades

N' = 25.26^4 = 439 400

Lembre-se que o A pode ser agora a 3ª, 4ª e 5ª , São ao todo 4 possibilidades

Total geral ----> N = 4 .439 400 ----> N = 1 756 600

b) Sem letras distintas:

1ª letra -----> 25 possibilidades
2ª letra A ----> 1 possibilidade
3º letra ----> 24 possibilidades
4ª letra ----> 23 possibilidades
5ª letra ----> 22 possibilidades


N' = 25.23.22.1 ----> N' = 303 600

Lembre-se que o A pode ser agora a 3ª, 4ª e 5ª , São ao todo 4 possibilidades

Total geral ----> N = 4 .303 600 ----> N = 1 214 400


Tens o gabarito?

Elcio, inicialmente eu pensei em contar o item (a) como você fez.

Mas, se fixarmos o A na segunda letra, e considerarmos que todas as letras, inclusive o A, podem aparecer na terceira, quarta e quinta posições, quando contarmos fixando o A nas demais posições, não estaremos contando coisas a mais?

E as palavras em que temos 2 ou 3 A's, por exemplo?

Giiovanna

Estes casos já estão previstos:

Note que, com o A sendo a 2ª letra, (como no exemplo mostrado para letras não distintas), para a 3ª, 4ª e 5ª letra existem 26 posssibilidades, isto é, elas também podem ser A

E, para o caso de letras distintas:

1) A 1ª letra não pode ser A ----> 25 possibilidades
2) A 2ª letra não pode se igual à 1ª, mas, pode ser A. Façamos, pois a 2ª letra ser A.
3) A 3ª letra não pode ser igual à 1ª nem pode ser igual à 2ª, que é um A ---> Restam 24 possibilidades
4) A 4ª letra não pode ser igau à 1ª, nem à 3ª, nem pode ser A ----> Restam 23 possibilidades.
5) A 5ª letra não pode ser igau à 1ª, nem à 3ª, nem à 4ª, nem pode ser A ----> Restam 22 possibilidades.

Ah, arrumando as possibilidades desse jeito, ok

Obrigada

Mestre, eu tenho uma apostila aqui com essa mesma questão, e no gabarito, a letra B dá 1214400 exatamente como o senhor colocou, porém, a letra B dá: 1658775.

Vacobs, o que eu fizestava, então, correto. Pode conferir

Por que a solução da  a) do  Elcioschin não está correta? Fiz da mesma maneira que ele.