De quantos modos?

Em uma fileira de um cinema há 6 poltronas vazias identificadas com as letras A, B, C, D, E e F.
Os amigos Jaime, Carla, Rodrigo e Pedro vão a esse cinema e se sentarão nesta fileira. Como o cinema está vazio, nenhuma outra pessoa vai se sentar nesta fileira.

a) De quantos modos diferentes estes amigos podem se sentar em 4 das 6 poltronas dessa fileira?

b) De quantos modos diferentes eles podem se sentar nessa fileira de modo que todos os 4 amigos fiquem lado a lado, sem nenhuma poltrona vazia entre eles?

c) De quantos modos diferentes eles podem se sentar de modo que Jaime e Carla fiquem um do lado do outro, sem nenhuma poltrona entre eles, e Rodrigo e Pedro ocupem quaisquer outros dois lugares dessa fileira?

Hola.

c) De quantos modos diferentes eles podem se sentar de modo que Jaime e Carla fiquem um do lado do outro, sem nenhuma poltrona entre eles, e Rodrigo e Pedro ocupem quaisquer outros dois lugares dessa fileira?





Há 10 forma de vc colocar Jaime e Carla juntos. Sobram 4 poltronas para vc colocar os outros 2 amigos de C4,2 * 2 = 12. Logo: 10*12 = 120

Paulo Testoni escreveu:Hola.

c) Há 10 forma de vc colocar Jaime e Carla juntos. Sobram 4 poltronas para vc colocar os outros 2 amigos de C4,2 * 2 = 12. Logo: 10*12 = 120

Obrigado, Paulo.

Eu não tenho o gabarito desta questão, mas eu a resolvi como se fosse arranjo, pois as poltronas estão em fila.
Veja o que pensei:

Temos 10 formas de colocar Jaime e Carla juntos (permutação de 2 pessoas) e sobram 4 poltronas para permutar os outros 2 amigos:

5 * P2 * P4 = 5 * 2 * 24 = 240 modos.

Ou seja, eu encontrei o dobro do valor que você encontrou.

Mas eu não tenho domínio desse conteúdo. Sem querer abusar da sua colaboração você teria alguma dica para que eu aprena a diferenciar o arranjo da combinação?

Hola campeão.

No arranjo a ordem dos elementos é importante.

Exemplo 1: seja o número 234, vamos trocar a ordem dos elementos, assim: 243, é o mesmo número? Claro que não, pois o número aumentou de valor.

Exemplo 2: vamos sortear 3 prêmios (1.º prêmio Tv, 2.º prêmio rádio, 3.º prêmio bola nessa ordem) enter 10 pessoas. Foram sorteados João, Pedro e Maneca nessa ordem. Agora vamos trocar a ordem dos ganhadores, assim: Pedro, Maneca e João. Note que agora eles não receberam os mesmos prêmios, logo temos um arranjo.

Nas combinações a ordem não importa.

Exemplo 1: temos 3 pessoas ( Lauri, Tuta e Joli). Queremos formar uma comissâo composta por 2 pessoas, escolhidas entre essas 4.

Uma possível comissão seria: Lauri e Tuta.

Agora vamos trocar a ordem delas, assim Tuta e Lauri. Mudou a comissão? Não. A comissão continua a mesma, pois as pessoas são as mesmas. Certo?

Veja aqui uma outra explicaçâo de:

André Machado --- Matemática e mais um pouco


Entenda a diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação


As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver um problema específico. Aqui, vamos explicar as características de cada uma e quando devem ser utilizadas.



Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Pode ser calculada pela fórmula P_n=n!. Ela deve ser utilizada quando você quiser contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta, por exemplo:

• O número de anagramas da palavra LIVRO é uma permutação de 5 elementos, calculada através de 5+ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, pois para a primeira posição você pode colocar 5 letras; para a segunda, restaram 4, para a terceira, 3 e assim por diante;
  
• O número de filas que podem ser formadas com 25 pessoas é 25!, pois para o primeiro lugar da fila temos 25 possibilidades, para o segundo 24 e assim por diante.
  

Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua fórmula é dada por


O exemplo mais clássico de arranjo é o pódio: em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? Note que, neste problema, queremos dispor 20 jogadores em 3 lugares, onde a ordem importa, afinal o pódio formado por João, por Marcos e por Pedro não é o mesmo formado por Pedro, por Marcos e por João. Outro exemplo é o número de possibilidades de se formar uma foto com n pessoas. Perceba que as permutações nada mais são do que casos particulares de arranjos onde n = p.

As Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos, calculadas por



Um exemplo classico é quando queremos formar uma comissão de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pódio do exemplo anterior, uma comissão formada por João, por Pedro e por Maria é a mesma comissão formada por Maria, por Pedro e por João.

Por fim, fique com essa frase de impacto:

Muito, muito obrigado.

Hola.

b) De quantos modos diferentes eles podem se sentar nessa fileira de modo que todos os 4 amigos fiquem lado a lado, sem nenhuma poltrona vazia entre eles?

Há 3 formas de vc colocá-los juntos nessas 6 poltronas sem que aja poltrona vazia entre eles. Mas em cada uma dessas formas eles podem mudar de posição entre si de 4! maneiras diferentes. Portanto:

3*4! = 3*24 = 72

Hola.

a) De quantos modos diferentes estes amigos podem se sentar em 4 das 6 poltronas dessa fileira?

A6,4 = (6*5*4*3*2!)/(6-4)!

A6,4 = (6*5*4*3*2!)/2!

A6,4 = 6*5*4*3

A6,4 = 360

Obrigado, Paulo.

Como disse anteriormente, não tenho muita segurança com questões de análise combinatória, por isso estou estudando, para superar essas dificuldades.
Obrigado por colaborar.

Hola aluno2502.

Uma das maneiras de vc contornar essas dificuldades é fazendo exercícios. Só assim vc consegue adquirir um bom conhecimento sobre o assunto. Continue estudando, o melhor meio de comprender é fazer. Estamos aqui para derimir as suas dúvidas que com o passar do tempo ficarão cada vez menores.