(FUVEST) - função

(FUVEST)Seja f(x) = a + 2^(bx + c), em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1, ∞[ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale

a) 4
b) 2
c) 0
d) -2
e) -4




RESOLUÇÃO :  http://www.curso-objetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/fuvest/fuvest2011_1fase.asp?img=01


PROBLEMA : Após olhar o link acima, não entendi por que o a= -1 . O que o 'a' representa nessa função em matemática ? 


Obrigada !  

Seu post não está de acordo com as regras do fórum!

Qual foi o erro ?

O gráfico de 2^(bx + c) é um gráfico exponencial. Ele é sempre positivo. assintótico ao eixo X quando x tende para + infinito

Quando somado ao número a, a curva passa a ser assintótica à reta y = a
 
Como o enunciado afirma que o gráfico tem imagem ]-1, ∞ e a = -1

f(x) = - 1 + 2^(bx + c)

Ponto (1, 0) ----> 0 = - 1 + 2^(b.1 + c) ----> 2^(b + c) = 1 ---> 2^(b + c) = 2^0 ---> b + c = 0 ----> I

Ponto (0, - 3/4) ----> - 3/4 = -1 + 2^(b.0 + c) ----> 1/4 = 2^c ----> 2^-2 = 2^c ----> c = - 2 

I ----> b + c = 0 ----> b - 2 = 0 ---> b = 2

abc = (-1).(2).(-2) ----> abc = 4

Muito obrigada! 

O que é assintótico?

Para ter a resposta você poderia ter consultado um dicionário ou mesmo o google

Uma curva é assintótica à uma reta, quando ela se aproxima cada vez mais da reta, sem nunca encontrá-la. Isto é o mesmo que dizer que  a curva encontra a reta no infinito

Exemplos de curvas assintóticas:

1) Hipérbole equilátera ---> y = 1/x ---> assintótica aos eixos x e y

2) Curva logarítmica (em qualquer base) ---> y = logx , y = lnx, etc ---> assintótica ao eixo y

3) Curva exponencial ---> y = a^x ----> assintótica ao eixo x

Experimente desenhar as curvas para você entender

Elcioschin escreveu:O gráfico de 2^(bx + c) é um gráfico exponencial. Ele é sempre positivo. assintótico ao eixo X quando x tende para + infinito

Quando somado ao número a, a curva passa a ser assintótica à reta y = a
 
Como o enunciado afirma que o gráfico tem imagem ]-1, ∞ e a = -1

f(x) = - 1 + 2^(bx + c)

Ponto (1, 0) ----> 0 = - 1 + 2^(b.1 + c) ----> 2^(b + c) = 1 ---> 2^(b + c) = 2^0 ---> b + c = 0 ----> I

Ponto (0, - 3/4) ----> - 3/4 = -1 + 2^(b.0 + c) ----> 1/4 = 2^c ----> 2^-2 = 2^c ----> c = - 2 

I ----> b + c = 0 ----> b - 2 = 0 ---> b = 2

abc = (-1).(2).(-2) ----> abc = 4

Se o gráfico corresponde a uma exponencial, de base > 1, portanto crescente e de curva assíntótica à reta y=a, como pode interceptar os pontos (1,0) e (0,-3/4) dos eixos coordenados? não consigo enxergar isso, pode me ajudar?

Toda função exponencial do tipo y = k^x corta o eixo y no ponto (0, 1). Veja porque:

Para x = 0 ---> y = k⁰ ---> y = 1 ---> (0, 1)

Se somarmos um valor qualquer real a à função, teremos y = a + k^x.

Se a > 0, a curva original "sobe" a logo  o ponto de contato dela com o eixo y NÃO é mais o ponto (0, 1). Veja porque

Para x = 0 ---> y = a + k⁰ ---> y = a + 1 ---> (0, a+1)

Se a > -1, a curva original "sobe"  e a situação é a mesma anterior, por exemplo a = - 0,5:

x = 0 ---> y = - 0,5 + 1 ---> y = 1/2 ---> (0, 1/2)

Se a ≤ -1 a situação tem uma mudança drástica. Por exemplo para a = - 2

x = 0 ---> y = - 2 + 1 ---> y = - 1 ---> a curva corta o semi-eixo y negativo.

Além disso a curva irá cortar o eixo x, quando y = 0

y = 0 ---> 0 = -2 + k^x ---> k^x = 2 ---> x = log_k2

É mais você entender olhando a figura: desça e suba a curva e veja o que acontece.

Então se eu tiver  f(x) = 2^X+1  a imagem é  ]1;+∞[  ?

E se for f(x) = (1/^x -36  a imagem é ]-∞; -36[  ?


Grato desde já