Principio da Inclusão-Exclusão

Quanto são os anagramas da palavra CAPITULO que têm C em 1° lugar, ou A em 2° lugar, ou P em 3° lugar ou I em 4° lugar?

A resposta é 16296

No meu livro a questão sitada acima já foi desenvolvida,porém o autor chegou no resultado através desta conclusão
4 x 5040 - 6 x 720 + 4 x 120 - 24
Gostaria de um esclarecimento do por que destas multiplicações e do seus respectivos sinais

Isso se deve às contagens repetidas.. leia sobre o princípio inclusão-exclusão (título do seu tópico) :
n(AUBUCUD) = n(A) + n(B) + n(C) +n(D) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(A∩D) - n(B∩C) - n(B∩D) - n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D) + n(A∩C∩D) + n(B∩C∩D) - n(A∩B∩C∩D)

Bom dividi as minhas principais duvidas em relação a esse exercício e ao assunto deste tópico  

1-Por que não é levado em consideração os valores que não se repetem na intersecção de dois elementos( n(A∩B). ....) que por acaso originariam 6 elementos diferentes resultando em: (+ 6 x 720).

2-E se são considerados apenas os elementos que repetem-se nas intersecções de dois elementos.Por que não consideramos os elementos que repetem-se nas intersecções de três elementos( n(A∩B∩C) .....) que no caso resultariam em:  (-8 x 120).

3-Em relação ao n(AUBUCUD), não seria apenas o somatório de todos os elementos que não se repetem, resultando: n(A) + n(B) + n(C) +n(D)+ n(A∩B) + n(A∩C) + n(A∩D) + n(B∩C) + n(B∩D) + n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D) + n(A∩C∩D) + n(B∩C∩D) + n(A∩B∩C∩D), que transformando em valores resultariam em:4 x 5040 + 6 x 720 + 4 x 120 + 24 

sergio fernandes escreveu:Bom dividi as minhas principais duvidas em relação a esse exercício e ao assunto deste tópico  

1-Por que não é levado em consideração os valores que não se repetem na intersecção de dois elementos( n(A∩B). ....) que por acaso originariam 6 elementos diferentes resultando em: (+ 6 x 720).

2-E se são considerados apenas os elementos que repetem-se nas intersecções de dois elementos.Por que não consideramos os elementos que repetem-se nas intersecções de três elementos( n(A∩B∩C) .....) que no caso resultariam em:  (-8 x 120).

3-Em relação ao n(AUBUCUD), não seria apenas o somatório de todos os elementos que não se repetem, resultando: n(A) + n(B) + n(C) +n(D)+ n(A∩B) + n(A∩C) + n(A∩D) + n(B∩C) + n(B∩D) + n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D) + n(A∩C∩D) + n(B∩C∩D) + n(A∩B∩C∩D), que transformando em valores resultariam em:4 x 5040 + 6 x 720 + 4 x 120 + 24 

Pelo jeito vc nao entendeu por que ainda nao leu sobre o assunto... vamos pegar os casos menores, para dois elementos A e B:
n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B) , vc deve conhecer a fórmula de união de dois elementos, a mesma idéia de descontar os elementos repetidos (n(A∩B) ) é o que ocorre para mais de dois elementos. Faça o diagrama de venn de dois conjuntos e vc vai entender porque deve descontar uma vez a interseção (ela é contada duas vezes) . Ou ainda um exemplo númerico, A = {1,2,3,4,5} --> n(A) = 5 , B = {4,5,6} --> n(B) = 3 , A∩B = {4,5} --> n(A∩B) = 2 ,  AUB = {1,2,3,4,5,6} --> n(AUB) = 6
se fosse como a fórmula vc sugeriu em '3'  além de nao descontar o que foi contado, vc estaria contando repetidamente mais elementos sendo n(AUB) = n(A) + n(B) + A∩B teríamos n(AUB) = 5+3+2 = 10
Baseado nisso temos a fórmula de três elementos n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) , que vc tb pode analisar pelo diagrama de venn e vai entender porque subtrai as interseções de dois elementos (pq há uma contagem repetida em cada interseção de dois) e a soma de n(A∩B∩C) ( é somado pq ao descontar as interseções de dois acaba descontando a mais a interseção dos tres elementos). Daí vem essa fómula de união de quatro termos (que coloquei no primeiro post), o princípio inclusão-exclusão deduz a fórmula de união para n elementos (da fórmula geral os sinais sao sempre alternados).

OBS. só lembrando que isso nao é uma demonstração da fórmula, apenas uma explicação para vc entende-la, é possível tb deduzir algebricamente a fórmula de união de três elementos através da fórmula de união de dois elementos e propriedades de conjuntos...

Agora voltando a combinatória, para facilitar , considere que o problema seja: " Quanto são os anagramas da palavra CAPITULO que têm C em 1° lugar ou A em 2° lugar ? "
Daí lembramos que n(CUA) = n(C) + n(A) - n(C∩A) , queremos n(CUA)
sendo o C em primeiro lugar temos : C _ _ _ _ _ _ _ 7! = 5040  (C)
sendo o A em segundo lugar temos: _ A _ _ _ _ _ _ 7! = 5040 (A)
mas foi contado repetidamente, o caso em que o C ta em primeiro lugar e A em segundo lugar ( C∩A )
C A _ _ _ _ _ _ 6! = 720
Logo a resposta é 2.5040 - 1.720 = 9360

Voltando ao problema original , a diferença é que agora sao quatro elementos, aí da fórmula vc vai ter:
4.5040 - 6.720 + 4.120 - 24 = 16296

Muito Obrigado