Combinatória

Bom dia a todos. É minha primeira vez aqui neste fórum e espero que possamos compartilhar de modo satisfatório nossos conhecimentos matemáticos. Inicialmente gostaria de saber se alguém pode me ajudar com a seguinte questão:

De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes?

A resposta é (11!)²/10

Desde já agradeço. Até a próxima!

Nosso especialista em análise combinatória é o Robalo. Não é a minha praia... é um caso de permutação circular que fica difícil pelo número de meninas (7). Pelo menos em tese a resposta é todas as permutações possíveis menos aquelas em que há pelo menos duas meninas juntas.

Essa restrição é que não consigo encontrar. Vejamos o que dizem nossos craques...

Hola Euclides.

Agradeço as suas palavras mas na realidade não sei tanta coisa como vc sabe.

Essa é uma questão do livro do saudoso Prof. Morgado que tem exatamente essa resposta. Vou tentar ajudar o nosso amigo DouglasM.

Os 12 rapazes podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de:
(PC)12=(12-1)!=11! formas.

Como sobram 12 lugares, após arrumarmos os 12 rapazes,então:

a primeira moça pode ocupar 12 posições; a segunda moça pode ocupar 11 posições; a terceira pode ocupar 10 posições; a quarta 9 posições; a quinta 8 posições; a sexta pode ocupar 7 posições; e a sétima só pode ocupar 6 posições. Assim, temos o produto 12.11.10.9.8.7.6 = A(12,7)= 12!/(5!)= 12!/5!

Aplicando o princípio fundamental da contagem , teremos:

11!.(12!)/5! modos de colocarmos 12 rapazes e 7 moças de forma que as moças não fiquem uma ao lado da outra.

A partir dessa resposta vc pode fazer outras formas de representação, por exemplo:
11!.(12!)/5! = 11!*12*11!/5! = 11!*11!*12/120 = simplificando, temos:

11!*11!*12/120 = 11!*11!/10 = (11!)²/10 aproximadamente 1,5933509 14 ou 1,6*10^14

Poderíamos também fazer:

os 12 rapazes podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de 11! formas.

Deixam 12 lugares. As garotas tem 7!*C12,7 = 12!*7!/(7!5!) = 12!/5! formas.

Total= 11!·12!/5! = (11!)²/10

Obrigado Robalo! Cheguei perto nesse, mas agora o problema já foi resolvido. Até a próxima.

Hola DouglasM.

Estamos aqui para ajudar as pessoas dentro da medida do possível e com muita satisfação.
Mesmo com dúvida vc pode colocar a sua solução, não tenha receios, pois ninguém irá zombar de vc.