Combinatória.

por **Eduardo Rabelo** Qua 07 Abr 2021, 10:42

De quantas maneiras pode-se distribuir 16 livros idênticos em 4 caixas distintas (A, B, C e D) de maneira que a caixa A sempre tenha mais livros que a caixa B.

Resp.:444

por **Eduardo Rabelo** Qua 07 Abr 2021, 11:02

Consegui fazer desta forma:

$Combinatória. Gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_cm%20%5C%5CTotal%3D%5Cfrac%7B19%21%7D%7B16%21%5Ccdot%203%21%7D%3D969%5C%5C%5C%5CDesta%5C%3Bforma%2Ct%5Chat%7Be%7Dm-se%3A%5C%5C%5C%5Cn%28A%3EB%29%3Dn%28B%3EA%29%5CRightarrow%20n%28A%3EB%29%3D%5Cfrac%7BTotal-n%28A%3DB%29%7D%7B2%7D%5Ctherefore%5C%5C%5C%5C%5Ctherefore%20n%28A%3EB%29%3D%5Cfrac%7B969-%5Coverset%7B8%7D%7B%5Cunderset%7Bi%3D0%7D%7B%5Csum%7Dn_%7Bi%7D%7D%28A%3DB%3Di%29%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B969-17-15-13-..$

por **Eduardo Rabelo** Ter 13 Abr 2021, 11:00

Estava discutindo com um colega e chegamos a outra forma de descobrir quantas vezes n(A)=n(B), que é por meio de funções geradores, têm-se:

$Combinatória. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_cm%20%5C%5Cn%28A%29+n%28B%29+n%28C%29+n%28D%29%3D16%5Ctherefore%20%5C%5C%5C%5C%5Ctherefore%202n%28A%29+n%28C%29+n%28D%29%3D16%5Ctherefore%5C%5C%5C%5C%5Cpsi%20%3D%281+x%5E%7B2%7D+x%5E%7B4%7D+...%29%281+x+x%5E%7B2%7D+...%29%281+x+x%5E%7B2%7D+..$

É trivial notar que:

$Combinatória. Gif$

Note que:

$Combinatória. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_cm%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D%3D1+x+x%5E%7B2%7D+..$

Derivando dos dois lados:

$Combinatória. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_cm%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%281-x%29%5E%7B2%7D%7D%3D1+2x+3x%5E%7B2%7D+..$

Derivando novamente:

$Combinatória. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_cm%20%5C%5C%5Cfrac%7B2%7D%7B%281-x%29%5E%7B3%7D%7D%3D2+6x+12x%5E%7B2%7D+..$

Reescrevendo psi:

$Combinatória. Gif$

Desta forma é possível encontrar o valor de maneiras não só para 16 livros, mas também para qualquer quantidade.

Para n=16:

$Combinatória. Gif$

À partir daqui para achar a resposta é necessário seguir o mesmo caminho da resolução anterior.

por AugustoM Ter 13 Abr 2021, 11:13

Porque foi feita uma combinação de 19! / 16! 13!?

Não entendi porque 19! e não 16! ?

por Messias Castro Ter 13 Abr 2021, 11:17

É uma combinação completa.

por AugustoM Ter 13 Abr 2021, 11:45

Mas na combinação completa, não teria que ser 16-1 no denominador? Seguindo a fórmula: Cn,p-1 = (n-1+p)! / (n-1)!+p! Da mesma forma que teria que ser o 4, em vez do 3?
19!
----
15! 4!

por Messias Castro Ter 13 Abr 2021, 23:31

p → (número de objetos)
n → (número de caixas)

Com isso,

p = 16
n = 4

Portanto,

CR_4,16 = C_19,16 = 19!/(16!*3!)

Obs.: Você está fazendo p=4 e n=16, o que está errado.

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