Duvida conceitual entre permutação e arranjo

Quanto mais penso que sei e estudo, logo penso que não sei!

Estudando uma apostila de Engenharia da UERJ e revendo o gabarito da minha ultima prova, fiquei mais perdido que CEGO EM TIROTEIO!

Na introdução o professor definiu a diferença entre arranjo e permutação como:

ARRANJO é se vc possuir N objetos e P lugares disponíveis para guardar exatamente 1 desses objetos em cada lugar.

PERMUTAÇÃO é se N objetos forem IGUAIS ao P lugares. Assim, permutação de N objetos é um arranjo de N objetos tomados n a n.

Sendo assim, o exemplo dele foi exatamente igual a letra A da minha prova:

A) Quantas são as maneiras de 6 carros serem estacionados em 6 vagas enfileiradas?

Rsposta: 6!= 720 maneiras.

B) Quantas são as maneiras de 6 carros serem estacionados em 12 vagas enfileiradas?

Resposta do gabarito: 12x11x10x9x8x7=665.280

AGORA PEÇO AJUDA DOS MEU NOBRES COLEGAS!

Na letra b, o numero de carros é diferente do numero de vagas, ou seja, fugindo da definição de IGUALDADE DA INTRODUÇÃO.

Ele fez permutação da vaga nos carros, ou seja, A VAGA VIROU OBJETO E O CARRO VIROU O LUGAR?

ME AJUDEM, POR FAVOR!

Nobre colega, bela frase de introdução!

A permutação é um caso particular de arranjo.

Fazer um arranjo em um conjunto de m elementos é formar SEQUÊNCIAS (não subconjuntos, pois isso seria Combinação) de r elementos.
O número de r-uplas ordenadas (sequências de r elementos) possíveis em conjunto de m elementos é:

m . (m-1). (m-2) . .... . m-(r-1) ou m!/(m-r)!

No caso da letra b), temos um arranjo (sem repetição) de 12 elementos tomados 6 a 6. Se m=12 e r=6:

12!/(12-6)! = 12!/6! = 12.11.10.9.8.7.6!/6! -> (corte os "6!", sendo 6" = 6.5.4.3.2.1)-> 12.11.10.9.8.7.6.5 arranjos.

Isso significa que você tem 665.280 possibilidades de formar sequências de 6 elementos, em um conjunto de 12 elementos. Note que cada maneira de estacionar os 6 carros nas 12 vagas é uma sequência de 6 carros posicionados em suas respectivas vagas.


A permutação é algo simples, até: em um ARRANJO de m elementos tomados r a r, denomina-se permutação o caso particular em que m=r.
Assim, como, na letra a), m=r=6, temos uma permutação de 6 elementos tomados 6 a 6. Por definição, o número de permutações de m elementos é:

Pm = m!

Então, 6! = 720 maneiras de se estacionar os carros.


Está claro?

Gabriel Rodrigues escreveu:Nobre colega, bela frase de introdução!

A permutação é um caso particular de arranjo.

Fazer um arranjo em um conjunto de m elementos é formar SEQUÊNCIAS (não subconjuntos, pois isso seria Combinação) de r elementos.
O número de r-uplas ordenadas (sequências de r elementos) possíveis em conjunto de m elementos é:

m . (m-1). (m-2) . .... . m-(r-1) ou m!/(m-r)!

No caso da letra b), temos um arranjo (sem repetição) de 12 elementos tomados 6 a 6. Se m=12 e r=6:

12!/(12-6)! = 12!/6! = 12.11.10.9.8.7.6!/6! -> (corte os "6!", sendo 6" = 6.5.4.3.2.1)-> 12.11.10.9.8.7.6.5 arranjos.

Isso significa que você tem 665.280 possibilidades de formar sequências de 6 elementos, em um conjunto de 12 elementos. Note que cada maneira de estacionar os 6 carros nas 12 vagas é uma sequência de 6 carros posicionados em suas respectivas vagas.


A permutação é algo simples, até: em um ARRANJO de m elementos tomados r a r, denomina-se permutação o caso particular em que m=r.
Assim, como, na letra a), m=r=6, temos uma permutação de 6 elementos tomados 6 a 6. Por definição, o número de permutações de m elementos é:

Pm = m!

Então, 6! = 720 maneiras de se estacionar os carros.


Está claro?

Muito obrigado pela atenção e resposta!

Sua explicação entendi muito bem. Parabens!

Entretanto, minha dúvida agora no sentido lógico e correto de elaborar a prova.

Ve se vc concorda ou nao comigo?

Quando ele aumentou o numero de vaga para 12 e numero de carros é 6, a permutação girou por volta dos estacionamentos.

Na vida real, que se desloca são os carros(objeto) e os estacionamentos(lugares) são fixos.

No meu entender,ele deixou os carros parados e quem se move é o estacionamento.

CONSIDERO SEM LÓGICA? Estou certo na minha interpretação?

sergio baltar escreveu:ARRANJO é se vc possuir N objetos e P lugares disponíveis para guardar exatamente 1 desses objetos em cada lugar.

Não concordo totalmente com essa definição, porque ela acaba caindo em permutação.
Se você tiver 1 lugar exato para cada objeto, o número de lugares e de objetos é P.
Arranjo é se você tem um número maior ou igual de lugares para colocar os objetos, como se pelo menos um possa ir pra mais de um lugar POR SEQUÊNCIA.

Desculpa, mas não entendi o que você quis dizer com "o estacionamento é que se move". Os carros é que se posicionam nos lugares. Os carros são os elementos do conjunto e, logo, eles que se movem.
Aumentando o número de elementos do conjunto que vai sofrer o arranjo, aumenta-se apenas o número de arranjos possíveis.

olá boa tarde!

Quando disse se mover no sentido de andar fisicamente, por exemplo, estacionamento é parado, imóvel, o carro que vai de encontro ao estacionamento e para.

Do jeito que foi elaborado a prova da entender que o carro ta parado e o estacionamento que ta se movendo, andando até ele!

NÃO SERIA MELHOR 12 CARROS PARA 6 ESTACIONAMENTOS?

Aproveitando conhecimento do amigo, me permita tirar outra dúvida:

Olhando esta mesma apostila encontrei um exercício que diz:

De quantas maneiras 12 moças e 12 rapazes podem formar pares para uma dança?
Solução: A primeira moça tem 12 possibilidades para escolher um
par. A segunda, 11, e assim sucessivamente de modo que a 12ª
terá apenas 1 escolha. Assim, pelo princípio multiplicativo, existem
P12 = 12! = 479001600 maneiras desses pares serem formados.

Na minha prova, foi com 10 moças e 10 rapazes,com as seguintes perguntas:

(c) (1,5) De quantas maneiras podemos associar os rapazes com as mocas de modo a formar pares para iniciar a danca de uma valsa em uma festa de 15 anos, se a ordem em que os casais est~ao dispostos inicialmente e relevante?

(d) (1,5) De quantas maneiras podemos associar os rapazes com as mocas de modo a formar pares para iniciar a danca de uma valsa em uma festa de 15 anos, se a ordem em que os casais estao dispostos inicialmente nao é relevante?

NA LETRA D, O GABARITO USOU RESPOSTA IGUAL DA APOSTILA 10!

Já na letra C usou 10! x 10!

NAO ENTENDI. TA CERTO O GABARITO?

sergio baltar escreveu:NÃO SERIA MELHOR 12 CARROS PARA 6 ESTACIONAMENTOS?

Não, não seria. Se você quiser estacionar 12 carros em 6 estacionamentos é o mesmo formar conjuntos de 6 elementos tomados 12 a 12. Por definição de arranjo, se formarmos r-uplas ordenadas em um conjunto de m elementos, devemos ter r ≤ m.
Como você iria colocar 12 carros em seis estacionamentos? É equivalente a tentar formar um conjunto de 12 elementos no conjunto A = (1,2,3,4,5,6).

É essa definição de "se mover" que está te deixando confuso. Arranjo é pegar elementos de um conjunto e formar novos conjuntos, todos com a mesma quantidade de elementos, mas com os elementos em ordens diferentes.