Quadriláteros

por 2k3d Ter 28 maio 2013, 19:47

Num retângulo ABCD , tem-se M o ponto médio do lado CD e o triângulo ABM é equilátero . Se P é o ponto de intersecção da diagonal BD com AM e , a medida do segmento AB é igual a 96cm , a medida do segmento AP é :

a) 24cm
b) 32cm
c) 48cm
d) 64cm
e) 72cm

Spoiler:

por Gabriel Rodrigues Ter 28 maio 2013, 20:50

As diagonais BD e AC interceptam-se em T e os segmentos BM e AD encontram-se em um ponto X. Note que X é o baricentro do triângulo BDC, visto que BM divide DC no ponto médio e T é ponto médio de BD (as diagonais do paralelogramo cortam-se nos seus pontos médios).
Onde concorrem duas medianas, concorrem três: X é baricentro no BDC.

Daí, vem:

DX = 2.DP -> DX = x; DP = y -> x = 2y.
XB = 2.MX -> MX = z ; XB= t -> t = 2z.

Como BM é lado do triângulo: z + t = 96, o que implica que z = 32 e t = 64.

Mas MP = MX = z. E, se AM = AP + MP e AM = 96, AP = 96 - 32 = 64.

AP = 64 cm.

por Gabriel Rodrigues Ter 28 maio 2013, 20:55

Só justificando porque MP = MX:

Os ângulos AD^M e BC^M são congruentes, pois os triângulos BDC e ADC são congruentes pelo caso LLL.

Então, os triângulos PDM e XMD são congruentes pelo caso ALA, implicando que MP = MX.