Congruência

Calcular o resto da divisão de por 5 .

OBS : Não sei a resposta .

O gausiano de 5 é 4.

2 ≡ 2 (mod 5)
2^4 ≡ 1(mod 5)
2^2007 ≡ 2^3 (mod 5)

Ou seja, todo número elevado a 2007 é congruente com ele mesmo elevado ao cubo.

Então fica ≡ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 2007^3

Então Sn³ = [(a1 + an)n/2]²

= [(1 + 2007)2007/2]²

= [(2³ . 251 . 3² . 223)/2]²

= (2² . 251 . 3² . 223)²

= 2^4 . 251^2 . 3^4 . 223^2

Aplicando teorema fundamental da divisibilidade

R = (1 . 1 . 1 . 9) (mod 5)

R = 9 ≡ 4 (mod 5)

Resp: 4

Pedro , eu não entendi direito o porque de todo número elevado a 2007 é congruente a ele mesmo elevado ao cubo .

Olha só, como G(5) é 4:

2^4 ≡ 1 (mod 5)
2^2004 ≡ 1 (mod 5)
2^2007 ≡ 2^3 (mod 5)

E isso vale para todos os números.

Outra solução:
3 ≡ -2 mod(5) , 3^2007 ≡ (-2)^2007 mod(5)
4 ≡ -1 mod(5) , (4)^2007 ≡ (-1)^2007 mod(5)
5^2007 ≡ 0 mod(5)

6 ≡ 1 mod(5) , 6^2007 ≡ 1^2007 mod(5)
7 ≡ 2 mod(5) , 7^(2007) ≡ 2^2007 mod(5)
8 ≡ -2 mod(5) , 8^(2007) ≡ (-2) ^2007 mod(5)
9 ≡ -1 mod(5) , 9^(2007) ≡ (-1)^2007 mod(5) ,perceba que a cada cinco termos (cujo soma deles é 0 ) a sequencia repete:

N = [1^2007 + 2^(2007) + (-2)^2007 + (-1)^2007 + 0] + [1^2007 +2^2007 + (-2)^2007 + (-1)^2007 + 0)] + ....
ou seja até 2005^2007 a soma é 0 restando apenas:
N = (2006)^(2007) + (2007)^(2007)
2006 ≡1 mod(5) , 2006^(2007) ≡ 1 mod(5)
2007 ≡2 mod(5), 2007^(2007) ≡ 2^(2007) ≡ 2^[(4)^(501)].2³ ≡ 8 ≡ 3 mod(5)

Logo N = (2006)^(2007) + (2007)^(2007) ≡ 1 + 3 ≡ 4 mod(5)

Entendi , valeu pedro e luck .