Valor do seno do ângulo

Ao sobrevoar a região de Ribeirão das Neves, fazendo um rastreamento para prender os fugitivos da “Dutra Ladeira”, o piloto do ESQUIL O fez um trajeto conforme o esquema abaixo. Calcule o valor do seno do ângulo “M”, levando em conta
que os ângulos “N” e “P” são retos, que a distância PM é congruente com MN e que MN é o dobro da distância NO: Resposta=4/5

[quote="Carla Rodrigues Mendanha"]Ao sobrevoar a região de Ribeirão das Neves, fazendo um rastreamento para prender os fugitivos da “Dutra Ladeira”, o piloto do ESQUIL O fez um trajeto conforme o esquema abaixo. Calcule o valor do seno do ângulo “M”, levando em conta que os ângulos “N” e “P” são retos, que a distância PM é congruente com MN e que MN é o dobro da distância NO: Resposta=4/5

Boa tarde, Carla.

No triângulo NOM, temos:
NO = x
MN = 2x

NO/MN = tg(M/2)
x/2x = tg(M/2)
1/2 = tg(M/2)

Dentre as fórmulas das relações trigonométricas, encontramos:
tg (x/2) = senx/(1 + cosx)

Aplicando nela nossos dados, fica:
tg (M/2) = senM/(1 + cosM) → cos M = √(1 - sen²M)
1/2 = senM/[1 + √(1 - sen²M)]
1 + √(1 - sen²M) = 2*senM
√(1 - sen²M) = 2*senM - 1

Elevando tudo ao quadrado, vem:
1 - sen²M = (2*senM - 1)²
1 - sen²M = 4*sen²M - 4*senM + 1

4*sen²M + sen²M = 1 + 4*senM - 1
5*sen²M = 4*sen²M
5*sen²M - 4*sen²M = 0

Colocando senM em evidência, fica:
senM(5*senM - 4) = 0

Extraindo as raízes:
sen'M = 0 → sen'M = 0 → desprezamos por ser nula
5*sen"M = 4 → sen"M = 4/5





Um abraço.

[quote="ivomilton"]

Carla Rodrigues Mendanha escreveu:Ao sobrevoar a região de Ribeirão das Neves, fazendo um rastreamento para prender os fugitivos da “Dutra Ladeira”, o piloto do ESQUIL O fez um trajeto conforme o esquema abaixo. Calcule o valor do seno do ângulo “M”, levando em conta que os ângulos “N” e “P” são retos, que a distância PM é congruente com MN e que MN é o dobro da distância NO: Resposta=4/5

Boa tarde, Carla.

No triângulo NOM, temos:
NO = x
MN = 2x

NO/MN = tg(M/2)
x/2x = tg(M/2)
1/2 = tg(M/2)

Dentre as fórmulas das relações trigonométricas, encontramos:
tg (x/2) = senx/(1 + cosx)

Aplicando nela nossos dados, fica:
tg (M/2) = senM/(1 + cosM) → cos M = √(1 - sen²M)
1/2 = senM/[1 + √(1 - sen²M)]
1 + √(1 - sen²M) = 2*senM
√(1 - sen²M) = 2*senM - 1

Elevando tudo ao quadrado, vem:
1 - sen²M = (2*senM - 1)²
1 - sen²M = 4*sen²M - 4*senM + 1

4*sen²M + sen²M = 1 + 4*senM - 1
5*sen²M = 4*sen²M
5*sen²M - 4*sen²M = 0

Colocando senM em evidência, fica:
senM(5*senM - 4) = 0

Extraindo as raízes:
sen'M = 0 → sen'M = 0 → desprezamos por ser nula
5*sen"M = 4 → sen"M = 4/5





Um abraço.

Muito Obrigada!