Soma de áreas

por Luciana Bittencourt Dom 10 Mar 2013, 10:15

Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras seja mínima?

Resposta: $Soma de áreas Gif$ e $Soma de áreas Gif$

por **Leonardo Sueiro** Dom 10 Mar 2013, 11:32

Primeiro pedaço = x
Segundo pedaço = 36 - x

Perímetro do quadrado formado = x
Lado do quadrado formado = x/4
Área do quadrado formado = x²/16

Perímetro do círculo formado = 36 - x
36 - x = 2πr ====> r = (36 - x)/2π
Área do círculo formado = π.[(36 - x)/2π]² = (36 - x)²/4π

Soma das áreas = S = x²/16 + (36 - x)²/4π = x²/16 + (1296 -72x + x²)/4π = x²/16 + 324/π - 18x/π + x²/4π

= x²(1/16 + 1/4π) - 18x/π + 324/π

x do vértice = -b/2a = (18/π)/[2*(1/16 + 1/4π)] = (18/π)/[1/8 + 1/2π] = (18/π)/[(π + 4)/8π] = 8*18/(π + 4)

Não está batendo com o gabarito.
Confira minhas contas ...

por Luciana Bittencourt Ter 12 Mar 2013, 11:06

Leonardo, entendi até a parte onde chegou a uma equação de 2° grau. Mas por que você calculou o x do vértice no final? Não devia calcular as raízes da equação? E como saber se essa soma me dará a área mínima?

E eu conferi o gabarito. É esse mesmo.

Conferi também o enunciado da questão, e percebi que o que está errado é o valor que coloquei, não são 36 cm de arame, são 10... Vou corrigir em vermelho no enunciado. Desculpe...