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Soma das Áreas...

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Soma das Áreas... Empty Soma das Áreas...

Mensagem por aryleudo Sab 02 Jun 2012, 07:58

Em um triângulo ABC, retângulo em A, trace a altura AH. Mostre a soma das áreas dos círculos inscritos nos triângulos AHC e AHB é igual à área do círculo inscrito em ABC.

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Soma das Áreas... Empty Re: Soma das Áreas...

Mensagem por rihan Ter 05 Jun 2012, 06:31

Soma das Áreas... WUEELMQD0lhBAzUE8JIcQM1FNCCDED9ZQQQsxAPSWEEDP8fyIkbS6v6n9gAAAAAElFTkSuQmCC

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Soma das Áreas... Empty Re: Soma das Áreas...

Mensagem por aryleudo Qua 06 Jun 2012, 16:42

Olá Rihan.

Primeiramente muito obrigado pela solução apresentada.

Agora gostaria que o amigo me explicasse como as áreas dos triângulos se relacionam com as áreas do círculo sendo multiplicadas pelo mesmo fator "k"?

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Soma das Áreas... Empty Re: Soma das Áreas...

Mensagem por rihan Qui 07 Jun 2012, 07:37

Grande amigo Aryleudo !

Que bom poder estar aqui com você !

Adorei seu post !

Mas não compreendi a sua dúvida...


Mas, vamos lá !!!

Para mim é intuitivo e óbvio.

Os triângulos são semelhantes...

Cada círculo ocupará a mesma fração de área de cada triângulo.

Ou seja, a razão entre a área de cada triângulo e a área de seu círculo circunscrito é a mesma, a tal constante "k" que coloquei.

Mas, se você quiser algo mais ortodoxo, vamos usar a nossa conhecida da fórmula de Heron para a área A de um triângulo e da expressão do inradius r :

A = √[ s(s-a)(s-b)(s-c) ]

r = 2A/P = A/s

C = ∏r²

Onde:

A:= área do triângulo.

s:= semiperímetro do triângulo.

P:= perímetro do triângulo (2s).

r: = raio do círculo inscrito.

C:= área do incírculo

Temos:

r² = A²/s²

C = ∏r² = ∏A²/s²

C/A = (∏A²/s²)/A = ∏A/s²

C/A = ∏√[ s(s-a)(s-b)(s-c) ] / s²

C/A = ∏√[ (s-a)(s-b)(s-c) / s³ ] = k

Que é uma CONSTANTE do problema, já que o triângulo tem seus lados e portanto sua área A e seu perímetro P definidos.

Sendo as áreas dos outros 2 triângulos A' e A" , seus perímetros P' e P" e as áreas de seus incírculos C' e C" respectivamente, temos, por semelhança:

a/a' = b/b'= c/c' = (a+b+c)/(a'+b'+c') =

P/P'= s/s' = k'

E analogamente:

s/s" = k"

Teremos:

C'/A' = ∏√[ (s'-a')(s'-b')(s'-c') / (s')³ ]

C'/A' = ∏√[ (sk'-ak')(sk'-bk')(sk'-ck') / (sk')³ ]

C'/A' = ∏√[ k'(s-a) k'(s-b) k'(s-c) / s³ k'³]

C'/A' = ∏√[ k'³ (s-a)(s-b)(s-c) / s³ k'³]

C'/A' = ∏√[(s-a)(s-b)(s-c) / s³ ] = k

Da mesma forma teríamos para:

C''/A'' = k

Logo:

C/A = C'/A' = C''/A'' = k

C/A = (C'+C'')/(A'+A'')

C/A = (C'+C'')/A

C = C'+C'' ■

Grande Abraço cheers !

Apareça Mais e Vamos Lá !


Última edição por rihan em Sex 08 Jun 2012, 07:56, editado 1 vez(es)

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Mensagem por aryleudo Qui 07 Jun 2012, 08:44

Muito bom Rihan.

Sua contribuição grande amigo foi muito esclarecedora.

Muito embora minha dúvida não tenha ficado clara, o amigo o esclareceu foi justamente no ponto exato.

Queria saber mesmo como poderia garantir que as áreas dos círculos tinham sempre o mesmo fator.

Saudação Circulares...

Aryleudo.

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Mensagem por rihan Qui 07 Jun 2012, 09:40

Ary,

Um número fácil de guardar:

Soma das Áreas... 381c4191708e97aa35091d626fad5be2

É a maior razão possível, que é a do triângulo equilátero.

Como fruto de sua questão vale esta afirmação:

C/A ≤ ∏/3√3

Para qualquer triângulo.

Saudações frutíferas ! cheers !

Rihan.

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