PIF Desigualdades

por Victor França Seg 04 Mar 2013, 22:35

Provar por PIF também:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > (n^4)/4 para todo n pertencente aos naturais não nulos.

Como faria?

Fiz assim, primeiro:

n = 1
1^3 > 1^4/4
1 > 1/4

Segundo:
(Hipótese)
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > (n^4)/4
Provando:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > [(n+1)^4]/4
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > (n^4)/4 + (4n^3 + 6n^2 + 4n + 1)/4
n^3 + 3n^2 + 3n + 1 > (4n^3 + 6n^2 + 4n + 1)/4
4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 > 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1
6n^2+8n+3 > 0
Para qualquer número natural não nulo essa proposição é verdadeira.

Seria assim? Me parece que ficou meio vago provar dessa forma, apesar de realmente a última proposição ser verdadeira.

por **JOAO [ITA]** Ter 05 Mar 2013, 00:19

A segunda demonstração se encontra aqui:
https://pir2.forumeiros.com/t42147-resolvidoifal-2010-dilatacao-do-pendulo-simples#152671

Agora vou resolver a primeira.

Resolução:

Para n = 1 é verdadeira.

Somando (n+1)³ em ambos os membros, obtemos:

1³ + 2³ +...+ n³ + (n+1)³ > (n^4)/4 + n³ + 3.n² + 3.n + 1 =
= [(n + 1)^4]/4 + (3.n²)/2 + 2.n + 3/4 =>
=>1³ + 2³ +...+n³ + (n+1)³ > [(n+1)^4]/4

Para todo n ∈ ℕ*.

C.q.d

PIF Desigualdades

PIF Desigualdades

Re: PIF Desigualdades

Um fórum livre e democrático.