Área do Paralelogramo

por **adriano tavares** Qui 18 Nov 2010, 16:07

Olá, andrerj.

Esse exercicío é bem conceitual vejamos:

Área do Paralelogramo Redoparalelogramo

A área do paralelogramo HDGB corresponde a 1/3 da área do paralelogramo ADCB, isso porque ambos têm a mesma base (HB) corresponde a 1/3 de (AD).
O mesmo acontece para o paralelogramo AECF.

Logo, pode se concluir que ambos têm áreas iguais.

As áreas dos quadriláteros AEMQ e HDPQ são iguais.Veja:

$2A_{AEMQ}+S=2A_{HDPQ}+S \Rightarrow A_{AEMQ}=A_{HDPQ}$

Os triângulos AQH e APD são semelhantes.Como a razão entre áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança teremos:

$\frac{A_{AQH}}{A_{APD}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow A_{AQH}=\frac{4}{9}A_{APD}$

$A_{HDPQ}=A_{APD}-\frac{4}{9}A_{APD}=\frac{5}{9}A_{APD}$

$A_{HDPQ}=A_{AEMQ}=\frac{5}{9}A_{APD}$ (I)

Note que os triângulos BAQ e BEM são semelhantes e têm a mesma razão de semelhança que a dos triângulos AQH e APD,então de maneira análoga teremos:

$A_{AEMQ}=\frac{5}{9}A_{BAQ}$ (II)

Sendo (I) e (II) iguais podemos concluir que $A_{BAQ}=A_{APD}$

A área do triângulo ABH é dada por:

$A_{ABH}=\frac{S-\frac{S}{3}}{2}\Rightarrow A_{ABH}=\frac{S}{3}$

Vamos agora expressar a área do triângulo ABH em funçao da área do triângulo APD.

$A_{BAQ}+A_{AQH}=\frac{S}{3}$

$A_{APD}+\frac{4}{9}A_{APD}=\frac{S}{3}\Rightarrow \frac{13}{9}A_{APD}=\frac{S}{3}\Rightarrow A_{APD}=\frac{9}{39}S$

Substituindo os valores teremos:

$A_{HDPQ}=\frac{5}{9}A_{APD}\Rightarrow A_{HDPQ}=\frac{5}{9}.\frac{9}{39}S \Rightarrow A_{HDPQ}=\frac{5}{39}S$

Calculando $S_1$ teremos:

$S_1=\frac{S}{3}-2.\left(\frac{5}{39}S\right) \Rightarrow \Rightarrow S_1=\frac{13S-10S}{39}\Rightarrow S_1=\frac{S}{13}$

Área do Paralelogramo

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