Geometria

Uma escultura vertical, com 7 m de altura, encontra-se em exibição em um pedestal com 9 m de altura, medidos acima da altura de visão de um observador
(conforme a ilustração a seguir). A que distância horizontal o observador deve se posicionar para que o seu ângulo de visão seja o maior possível?
A) 10 m
B) 11 m
C) 12 m
D) 13 m
E) 14 m

Seja x a distância pedida

Sejam também α, β os ângulos de visão para o pé e a cabeça da estátua

Seja V o ângulo entre os raios de visão do pé e da cabeça

tgα = 9/x ----> tgβ = (7 + 9)/x = 16/x

V = β - α ----> tgV = tg(β - α) ----> tgV = (tgβ - tgα)/(1 + tgα.tgβ) ----> tgV = (16/x - 9/x)/[1 + (9/x),(16/x)] ---->

tgV = (7/x)/(1 + 144/x²) ----> tgV = 7x/(x² + 144)

Para descobrir o máximo de tgx (e o máximo de x) é necessário derivar:

(tgV)' = [(x² + 144)*7 - 7x.(2x)]/(x² + 144)² ----> (tgx)' = - 7(x² - 144)/(x² - 144)²

Igualando o numerador a zero ----> x² - 144 = 0 ----> x = 12 ----> Alernativa C