(IFAL - 2010) Dois Blocos e Polia

por **aryleudo** Dom 17 Fev 2013, 16:09

Dois blocos com massas m₁ e m₂ estão ligados através de uma corda que passa por uma roldana. Os planos, nos quais se encontram os blocos, formam, com o plano horizontal, ângulos α e β, conforme indica a figura. O bloco da direita encontra-se em um nível inferior ao bloco da esquerda em uma grandeza igual a h metros. Decorridos, t segundos, depois de iniciado o movimento, ambos os blocos encontram-se a mesma altura. Os coeficientes de fricção entre as cargas e os planos são iguais a k. A expressão que relaciona as massas dos blocos é:

(IFAL - 2010) Dois Blocos e Polia Doisblocosepolia

RESPOSTA:

Spoiler:

por **LPavaNNN** Ter 19 Fev 2013, 00:32

$\\sen\alpha.m_1.g-u.cos\alpha.m_1.g-T=m_1.a\\T-sen\beta.m_2.g-u.cos\beta.m_2.g=m_2.a\\a=\frac{sen\alpha.m_1.g-u.cos\alpha.m_1.g-sen\beta.m_2.g-u.cos\beta.m_2.g}{m_1+m_2}$

aceleração vertical para o bloco de massa m=m1:

$a.sen\alpha=ay_1$

para o bloco de massa m=m2:

$a.sen\beta=ay_2$

então a celeração relatica será:

$ay_1+ay_2=a(sen\alpha+sen\beta)$

$aR=\frac{sen\alpha.m_1.g-u.cos\alpha.m_1.g-sen\beta.m_2.g-u.cos\beta.m_2.g}{m_1+m_2}(sen\alpha+sen\beta)\\aR=sen^2\alpha.m_1.g-u.cos\alpha.sen\alpha.m_1.g-sen\alpha.sen\beta.m_2.g-u.sen\alpha.cos\beta.m_2.g+sen\alpha.sen\beta.m_1.g-u.cos\alpha.sen\beta.m_1.g-sen^2\beta.m_2.g-u.cos\beta.sen\beta.m_2.g\\aR=m_1.g[sen^2\alpha-u.cos\alpha.sen\alpha+sen\alpha.sen\beta-u.cos\alpha.sen\beta]-m_2.g[sen\alpha.sen\beta+u.sen\alpha.cos\beta+sen^2\beta+u.cos\beta.sen\beta]\\aR=m_1.g[sen\beta(sen\alpha-u.cos\alpha)+sen\alpha(sen\alpha-u.cos\alpha)]-m_2.g[sen\alpha(sen\beta+u.cos\beta)+sen\beta(sen\beta+u.cos\beta)]\\aR=\frac{m_1.g.(sen\alpha+sen\beta)(sen\alpha-u.cos\alpha)-m_2.g(sen\alpha+sen\beta)(sen\beta+u.cos\beta)}{m_1+m_2}$

$h=\frac{at^2}{2}\\2h(m_1+m_2)=m_1.g.(sen\alpha+sen\beta)(sen\alpha-u.cos\alpha)t^2-m_2.g(sen\alpha+sen\beta)(sen\beta+u.cos\beta)t^2\\m_1[2h+gt^2(sen\alpha+sen\beta)(u.cos\alpha-sen\zalpha\alpha)]=m_2[-2h+gt^2(sen\alpha+sen\beta)(-sen\beta-u.cos\beta)]\\\frac{m_1}{m_2}=\frac{gt^2(sen\alpha+sen\beta)(-sen\beta-u.cos\beta)-2h}{gt^2(sen\alpha+sen\beta(u.cos\alpha-sen\alpha)+2h}\\\frac{gt^2(sen\alpha+sen\beta)(sen\beta+u.cos\beta)+2h}{gt^2(sen\alpha+sen\beta)(sen\alpha-u.cos\alpha)-2h}$

essa fpoi a resposta achada por mim, n sei se cometi um erro de algebra na equação, mas devido à semelhança, acredito que realmente tenha sido, observe e tente ver meu erro, desculpe n fazer o certo, mas essa questão exigiu muita algebra... e sinceramente, é cansativo refaer tudo

por **LPavaNNN** Ter 19 Fev 2013, 00:56

sem possibilidade de o gabarito estar errado?

por jwxorlando Sáb 18 Jul 2020, 00:29

Primeiro vou encontrar a razão m1/m2 através do diagrama de corpo livre e da segunda lei de Newtom, levando em conta que a tração no fio é T e que o sistema se move com aceleração a.

Código:: [latex] m_1 g \sin{\alpha} - T - k m_1 g \cos{\alpha} = m_1 a \\ T - m_2 g \sin{\beta} - k m_2 g \cos{\beta} = m_2 a [/latex]

Isole T em ambas equações acima:

Código:: [latex]T = m_1\; [g(\sin{\alpha} - k\cos{\alpha}) - a] \\ T = m_2\; [g(k\cos{\beta} + \sin{\beta}) + a] [/latex]

Divida as duas equações acima e obtenha

Código:: [latex]\frac{m_1}{m_2} = \frac{g(k\cos{\beta} + \sin{\beta}) + a}{g(\sin{\alpha} - k\cos{\alpha}) - a}[/latex]

Perceba que, quando estiverem na mesma altura, m1 vai descer uma altura h1 e m2 vai subir h2 de tal forma que h1 + h2 = h. Além disso, ambos percorrem uma distância d em MRUV. Podemos utilizar esses dois fatos para encontrar a aceleração.

Código:: [latex]h_1 = d \sin{\alpha} \quad \quad h_2 = d \sin{\beta} \quad \Longrightarrow \quad d = \frac{h}{(\sin{\alpha} + \sin{\beta})} \\ d = \frac{a}{2} \: t^2 \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{2h}{(\sin{\alpha} + \sin{\beta}) \: t^2}[/latex]

Substitua a na equação encontrada para m1/m2.

Código:: [latex]\frac{m_1}{m_2} = \frac{g(k\cos{\beta} + \sin{\beta}) + \frac{2h}{(\sin{\alpha} + \sin{\beta}) \: t^2}}{g(\sin{\alpha} - k\cos{\alpha}) - \frac{2h}{(\sin{\alpha} + \sin{\beta}) \: t^2}}[/latex]

Tire o MMC e, finalmente, obtenha o resultado:

Código:: [latex]\frac{m_1}{m_2} = \frac{g \, t^2 \: (\sin{\alpha} + \sin{\beta}) \, (k\cos{\beta} + \sin{\beta}) + 2h}{g \, t^2 \: (\sin{\alpha} + \sin{\beta}) \:(\sin{\alpha} - k\cos{\alpha}) -2h }[/latex]

By: José Orlando dos Santos Miranda