Questão do livro gelson iezzi

por gustavo_luiss Sex 25 Jan 2013, 02:56

Obtenha as equações das retas (t) tangentes à circunferência (λ) e que formam ângulo
θ com a reta (r) no seguinte caso:

(λ) x² + y² = 49 ,

θ = 45º

e (r) 4x +y -3 = 0

Para falar a verdade eu fiquei mais em dúvida qual seria a reta que forma 45º com r.

alguém poderia dar uma dica ?

a resposta é : 3x+5y+-7raiz34

por **Jose Carlos** Qua 30 Jan 2013, 12:17

Como esta questão está há alguns dias sem solução resolvi fazer uma tentativa.

Questão do livro gelson iezzi Retatan

Como o ângulo entre a reta dada e a reta tangente é de 45° então:

.............mr - ms
tg 45° = ------------
.............1 + mr*ms

......mr - ( - 4 )
1 = ----------------
....... 1 + mr*( - 4 )

1 - 4*mr = 4 + mr -> mr = - 3/5

assim, a família de retas com coeficiente angular mr = - 3/5 será:

y = (- 3/5)*x + b

substituindo na equação da circunferência temos:

x² + [ ( - 3/5)*x + b ) ]² = 49

resolvendo temos:

34*x² - 30*b*x + ( 25*b² - 1225 ) = 0

...................____________________________
......30*b ∓ \/ 900*b² - 4*34*( 25*b² - 1225 )
x = ------------------------------
......................68

para que a reta seja tangente à circunferência:

900*b² - 3400*b² + 166600 = 0

- 2500*b² = - 166600

b² = 166600/2500

b² = 1666/25

b = (7*\/34 )/5

então a reta procurada será:

y = ( - 3/5 )*x + (7*\/34)/5

5y = - 3*x + 7*\/34

3*x + 5*y - 7*\/34 = 0

por gustavo_luiss Qua 30 Jan 2013, 12:40

Uhuul, vlw tirou onda, eu estava esqueçendo da primeira fórmula do angulo entre as retas, Como o ângulo entre a reta dada e a reta tangente é de 45° então:

.............mr - ms
tg 45° = ------------
.............1 + mr*ms

esqueçi disto, vlw

por gustavo_luiss Qua 30 Jan 2013, 12:47

Consegue demonstrar esse fórmula de alguma maneira fácil ?

............mr - ms
tg 45° = ------------
.............1 + mr*ms

por **Jose Carlos** Qua 30 Jan 2013, 13:58

Esta fórmula é a da tangente da diferença de dois arcos é encontrada facilmente na internet, quanto à demonstração não sou capaz de fazê-la.

por PedroCunha Qua 23 Abr 2014, 20:53

José Carlos, fiz de maneira diferente. Note que faltou uma das retas na sua resposta.

Antes de mais nada, vamos encontrar o coeficiente angular de (r):

(r):4x+y-3 \rightarrow 4x+y-3=0 \therefore y = -4x+3 \rightarrow m_r = -4

O enunciado fala que (t) forma um ângulo de 45° com (r). Lembrando que o ângulo formado entre duas retas é dado por
\left | \frac{m_a - m_b}{1 + m_a \cdot m_b} \right | temos:

\tan 45^{\circ} = \left | \frac{-4-m_t}{1-4m_t} \right| \rightarrow 1-4m_t = -4-m_t \therefore m_t = -\frac{3}{5}

Então, (t) é da forma:

y = -\frac{3}{5} x + b \therefore -\frac{3}{5}x -y+b=0

.
Agora, vamos encontrar o centro e o raio de λ. Note que x^2+y^2 = 49 . Então, temos C(0;0), R = 7. Como (t) é tangente a circunferência, a distância dela ao centro de λ é igual ao raio desta. Logo:

\frac{\left| -\frac{3}{5} \cdot 0 - 1 \cdot 0 + b \right |}{\sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + 1^2}} = 7 \rightarrow |b| = 7 \cdot \sqrt{\frac{34}{25}} \therefore b = \pm \frac{7\sqrt{34}}{5}

Portanto, as retas são:

-\frac{3}{5}x - y \pm \frac{7\sqrt{34}}{5} = 0 \Leftrightarrow 3x+5y \mp 7\sqrt{34} = 0

Agora, a demonstração que o Gustavo pediu:

Sejam (r) e (t) duas retas quaisquer, tais que (r): y = ax+b e (t): y = cx+d. Sejam também α o ângulo formado pelas duas retas, β o arco que representa a tangente de (r) ou seja, o arco tangente de m_r e γ o arco tangente de m_t. Observe a seguinte figura:

Questão do livro gelson iezzi 2e5v3oj

Note que β = α + γ .:. α = γ - β (ângulo externo). Então, tan α = tan (γ - β). Porém, veja que o ângulo formado que queremos é um ângulo agudo. Então, para garantir que um valor positivo para tan α ( se 0 ≤ α ≤ 90°, tan α ≥ 0 ), devemos adicionar um módulo. Logo,
tan α = |tan (γ - β)|. Mas tan (a-b) = ( tan a - tan b)/(1 + tan a * tan b), então:

tan α = | (tan γ - tan β ) / (1 + tan γ * tan β ) |, C.Q.D. .

Espero ter ajudado.

Abraços,
Pedro