Caneta no espelho

por vclima Sex 14 Dez 2012, 10:49

Relembrando a primeira mensagem :

Uma caneta é colocada na frente de um espelho esférico convexo, perpendicularmente ao eixo princiapal do espelho. Sejam x a distância da imagem da caneta ao espelho e y o tamanho dessa imagem; quando movemos a caneta, aproximando-á do espelho :

R: x vai diminuindo e y vai aumentando

PQ?

por vclima Sex 14 Dez 2012, 15:38

Ah , eu vi sua imagem de três objetos e esclareceu minha dúvida.

valeu,

por **Euclides** Sex 14 Dez 2012, 15:46

Caneta no espelho - Página 3 Convex_zps002707e4

O tamanho da imagem pode ser mostrado geometricamente nos triângulos acima.

Algebricamente, usando a equação de Gauss, sendo negativas as posições de foco e imagem

$\\-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{x}\;\;\;\Rightarrow \;\;\boxed{k=\frac{1}{x}-\frac{1}{p}}\\\\\\\text{analogamente }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boxed{k=\frac{1}{x'}-\frac{1}{p_2}} \\\\\\se\;\;p_2<p\;\;\;\to\;\;\;\frac{1}{p_2}>\frac{1}{p}\;\;\;\to\;\;\frac{1}{x'}>\frac{1}{x}\;\;\;\;\to\;\;\;\;\boxed{x'<x}$

por **Leonardo Sueiro** Sex 14 Dez 2012, 15:54

Acho que não compreendi perfeitamente.

Você deduziu que ocorre uma aproximação da imagem ao espelho, certo?
Mas como garantir que essa aproximação é mais rápida para termos um denominador diminuido mais que um numerador, aumentando o tamanho da imagem ? :scratch:

por **Euclides** Sex 14 Dez 2012, 15:58

Leonardo Sueiro escreveu:Acho que não compreendi perfeitamente.

Você deduziu que ocorre uma aproximação da imagem ao espelho, certo?
Mas como garantir que essa aproximação é mais rápida para termos um denominador diminuido mais que um numerador, aumentando o tamanho da imagem ? :scratch:

Não entendi, Leonardo. Eu examinei duas situações estáticas e não avaliei rapidez.

Primeiro, geometricamente, isso fica muito claro. Depois, dado que a distância focal é constante o resto foi análise algébrica.

Caneta no espelho - Página 3 Tersytr_zps3c9be21d

Caneta no espelho - Página 3 Tersytr_zps3c9be21d

por DaviBahia Sex 14 Dez 2012, 20:18

Boa noite, Euclides.

Eu tive a mesma dúvida que o Léo

(comentário abaixo)

Leonardo Sueiro escreveu:Acho que não compreendi perfeitamente.

Você deduziu que ocorre uma aproximação da imagem ao espelho, certo?
Mas como garantir que essa aproximação é mais rápida para termos um denominador diminuido mais que um numerador, aumentando o tamanho da imagem ? :scratch:

por **Euclides** Sex 14 Dez 2012, 21:37

Sobre o aumento da imagem?

façamos então que a nova posição da imagem (mais próxima) seja p/n e vamos retomar as equações anteriores

$\\-\frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{x}\;\;\;\Rightarrow \;\;\boxed{k=\frac{1}{x}-\frac{1}{p}}\\\\\\\text{analogamente }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boxed{k=\frac{1}{x'}-\frac{1}{p_2}}$

agora

$\\\frac{1}{x}-\frac{1}{p}=\frac{1}{x'}-\frac{n}{p}\;\;\;\;\to\;\;\;\frac{1}{x'}=\frac{1}{x}+\frac{n-1}{p}\\\\\\\frac{1}{x'}=\frac{p+x(n-1)}{px} \;\;\to\;\;\boxed{x'=\frac{px}{p+x(n-1)}}\\\\\\\ \text{o aumento da imagem}\\\\$

$\\\frac{i}{y}=\frac{-x}{p}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{i}{y'}=\frac{-x'n}{p}\\\\\\\frac{y}{y'}=\frac{x'n}{x}\;\;\;\;\;\to\;\;\;\frac{y}{y'}=\frac{\frac{px}{p+x(n-1)}}{x}=\frac{p}{p+x(n-1)}\\\\\\\boxed{\frac{y}{y'}=\frac{p}{p+x(n-1)} }$

está fácil ver que o numerador é menor que o denominador (estamos falando de tamanhos) o que remete a y' > y, ou seja: a segunda imagem é maior que a primeira.

por **Elcioschin** Sex 14 Dez 2012, 22:01

Um outro modo de explicar

1/f = 1/p + 1/p' ----> p' = p*f/(p - f) ----> :p ----> p' = f/(1 - f/p)

Notem que o denominador é positivo. já que f < 0 e p > 0
Notem então que p' tem o mesmo sinal de f (ambos negativos)

Quando p DIMINUI ----> f/p AUMENTA ----> denominador (positivo) AUMENTA ----> p' DIMINUI (em módulo)

Além disso, como a imagem (virtual) se forma entre o foco e o espelho, ela é MENOR que o objeto

Logo, quando o objeto se aproxima do espelho a imagem também se aproxima dele (em sentido oposto). No limite, quando o objeto estiver SOBRE o espelho, a imagem também estará e será do mesmo tamanho que o objeto. Neste caso a imagem (virtual) terá seu tamanho máximo

Logo, quando o objeto se aproxima do espelho, a imagem estará aumentando

por vclima Dom 16 Dez 2012, 12:51

Eh, pelo que vi, a nível de ensino médio é melhor eu utilizar os desenhos para chegar a resposta, a forma algébrica não é tão complexa, porém é dispendiosa em uma prova.