Fuvest

por yelrlx Qua 12 Dez 2012, 00:01

Considere as 720 permutações dos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

a)Quantas dessas permutações têm os números 1, 2 e 3 na ordem natural, isto é, o 1 antes do 2 e o 2 antes do 3?

b)Em quantas dessas permutações o elemento que ocupa o terceiro lugar é maior que os dois primeiros?

Respostas:

Spoiler:

por **Elcioschin** Qua 12 Dez 2012, 17:13

Se não forem necessariamente sucessivos

1 2 3 _ _ _ ..... 3! = 6
1 2 _ 3 _ _ ..... 3! = 6
1 2 _ _ 3 _ ..... 3! = 6
1 2 _ _ _ 3 ..... 3! = 6

_ 1 2 3 _ _ ..... 3! = 6
_ 1 2 _ 3 _ ..... 3! = 6
_ 1 2 _ _ 3 ..... 3! = 6

_ _ 1 2 3 _ ..... 3! = 6
_ _ 1 2 _ 3 ..... 3! = 6

_ _ _ 1 2 3 ..... 3! = 6

Total de casos favoráveis = 10*6 = 60 ----> P = 60/720 ---> P = 1/12

Se forem sucessivos (cor azul), isto é, um imediatamente antes do outro:

Total de casos favoráveis = 4*6 = 24 ----> P = 24/720 ----> P = 1/30

Nenhuma das duas respostas bate com o gabarito a

b)

_ _ 3 _ _ _ .... A(2,2)*3! = 2*3! = 12
_ _ 4 _ _ _ .... A(3,2)*3! = 6*3! = 36
_ _ 5 _ _ _ .... A(4,2)*3! = 12*3! = 72
_ _ 6 _ _ _ .... A(5, 2)*3! = 20*3! = 120

Total de casos favoráveis = 240 ----> Conferiu com o gabarito

por **ramonss** Qua 12 Dez 2012, 17:45

Mestre Elcioschin, você esqueceu de:
1 _ 2 3 _ _ = 3!
1 _ 2 _ 3 _ = 3!
1 _ 2 _ _ 3 = 3!
1 _ _ 2 3 _ = 3!
1 _ _ 2 _ 3 = 3!
1 _ _ _ 2 3 = 3!

6.3! = 36

_ 1 _ 2 3 _ = 3!
_ 1 _ 2 _ 3 = 3!
_ 1 _ _ 2 3 = 3!
3.3! = 18

_ _ 1 _ 2 3 = 3!
3! = 6

18+36+6 = 60

Somando aos 60 que você achou, 120.

Será que não há um modo mais prático?

por yelrlx Qua 12 Dez 2012, 18:52

Obrigado ramonss e Elcioschin.

Para a alternativa a) eu achei uma resposta mais simples
$720.\frac{1}{2}_{(\textup{1 antes do 2})}.\frac{1}{3}_{\textup{(1 antes do 2 e 2 antes do 3)}}=120$

por **Elcioschin** Qua 12 Dez 2012, 19:45

Obrigado Ramonss: foi distração minha motivada pela pressa.

Uma solução do item a através de PFC

N = [C(5, 2) + C(4, 2) + C(3, 2) + C(2, 2)]*3!

N = (10 + 6 + 3 + 1)*6

N = 120

por Paulo Testoni Sex 13 Jun 2014, 19:29

Hola.

a)Quantas dessas permutações têm os números 1, 2 e 3 na ordem natural, isto é, o 1 antes do 2 e o 2 antes do 3?

Um modo mais prático seria:

P = 6!/3!
P = 120

ou

Vc tem 6 números, ou seja, 6 celas vazias, a saber: -- -- -- -- -- --
Nessas 6 celas vazias, vc quer ajeitar os números 1, 2 e 3 sempre nessa ordem, isso pode ser feito assim:

-1- -2- -- -3- -- --
-1- -- -2- -- -3- --, etc. O que pode ser feito de C6,3 maneiras diferentes. Note após ao ajeitar os números 1, 2 e 3 sempre sobram 3 celas vazias
-1- -2- -- -3- -- --, onde podem ser permutados os números restante 4, 5, e 6, de 3!, portanto:

C6,3 * 3! = 20*6 = 120

por JohnnyC Dom 15 Jul 2018, 15:32

Mestre, para a letra a) eu soube fazer, fiz assim:

A ordem importa! Temos que ter, OBRIGATORIAMENTE, a seguinte ordem: 1, 2 e 3. Portanto, podemos pegar esses elementos e colocá-los em um único bloco, de forma que teríamos __,__,__,__,123. Portanto, poderíamos permutar 5 elementos, resultando em 120 permutações.

Agora, não entendi a b). Como procede ?

por justanightmare Dom 15 Jul 2018, 16:44

JohnnyC escreveu:Mestre, para a letra a) eu soube fazer, fiz assim:

A ordem importa! Temos que ter, OBRIGATORIAMENTE, a seguinte ordem: 1, 2 e 3. Portanto, podemos pegar esses elementos e colocá-los em um único bloco, de forma que teríamos __,__,__,__,123. Portanto, poderíamos permutar 5 elementos, resultando em 120 permutações.

Agora, não entendi a b). Como procede ?

Quando o terceiro número for 3:

2.1.1.3.2.1 = 12

Quando o terceiro número for 4:

3.2.1.3.2.1 = 36

Quando o terceiro número for 5:

4.3.1.3.2.1 = 72

Quando o terceiro número for 6:

5.4.1.3.2.1 = 120

Somando as possibilidades obtemos: 240