álgebra - menor valor possível de x+y

por **raimundo pereira** Qua 14 Nov 2012, 16:26

Se x e y são números naturais e 19x+97y=1997, então menor valor possível de x+y é:
a)21
b)23 - Gab
c)38
d)41
e)47

por **Elcioschin** Qua 14 Nov 2012, 16:54

19x + 97y = 1997 ----> x = (1997 - 97y)/19 ----> x = 105 - 5y + (2 - 2y)/19

Fazendo t = (2 - 2y)/19 -----> t é inteiro

y = (2 - 19t)2 ----> y = 1 - 9t - t/2 -----> t/2 é inteiro ----> t = 2k (k inteiro)

y = [2 - 19*(2k)]/2 ----> y = 1 - 19k ----> Para y ser natural k =< 0

x = [1997 - 97*(1 - 19k)]/19 ----> x = (1900 + 19*97k)/19 ----> x = 100 + 97k ----> Para x ser natural k >= -1

A interseção de ambos lela a ser k = 0 ou k = 1

Para k = 0 ----> x = 100 -----> y = 1 ----> x + y = 101

Para k = -1 ----> x = 3 -----> y = 20 ----> x + y = 23

Raimundo: Para conhecer melhor a técnica utilizada, dê uma lida em Ágebra -[size=9]Equações Diofantinas - Elcioschin[/size]

por aprentice Qua 14 Nov 2012, 16:55

É uma equação diofantina linear:
x0 = 100
y0 = 1

x = 100 - 97t
y = 1 + 19t

x >= 0 => 100 - 97t >= 0 => 97t <= 100 => t <= 1
y >= 0 => 1 + 19t >= 0 => -19t <= 1 => t >= 0
Então: t = 0 ou t = 1

x + y = 101 - 78t
O menor valor é para t = 1: min(x + y) = 101 - 78 = 23