Menor valor possível de p(x)

por EsdrasCFOPM Dom 29 maio 2016, 14:16

Se o polinômio p(x) = x² + bx + c, em que b e c são constantes reais, tem o número complexo
2 − 5i como uma de suas raízes, então o menor valor possível de p(x) , para x real, é

A) 8
B) 10
C) 16
D) 20
E) 25

por Matemathiago Dom 29 maio 2016, 15:00

Se um número complexo é raiz, então seu conjugado também é.
(2-5i)² + (2 - 5i)b + c = 0
(2+5i)² + (2+5i)b +c = 0
-21 - 20i + (2 - 5i)b + c = 0
-21 + 20i + (2+5i)b + c = 0
-40i = (2+5i)b - (2 - 5i)b
-40i = 10bi
b= -4
O produto das raízes é c = 29
Então:
p(x) = x² - 4b + 29
delta = 16 - 116
delta = -100
-delta:4a = 100:4 = 25 Letra E

por EsdrasCFOPM Sex 03 Jun 2016, 11:49

Algumas dúvidas!

1)Você poderia demonstrar "O produto das raízes é c = 29"? Para mim não ficou visível.

2) Por que delta = -100 => -delta:4a = 100:4 seria o menor valor para X ?

por **Elcioschin** Sex 03 Jun 2016, 13:57

Um modo mais simples e rápido:

(2 - 5.i) + (2 + 5.i) = - b/1 ---> b = - 4

(2 - 5.i).(2 + 5.i) = c/1 ---> 4 - 25.i² = c ---> c = 29

x² - 4.x + 29 = 0 --> xV = -b/2a ---> xV = - (-4)/2.1 ---> xV = 2

yV = 2² - 4.2 + 29 ---> yV = 25