Cheque - (menor valor possível)

Certo senhor, ao descontar um cheque, recebeu sem notar o número de reais trocados pelo número de centavos e vice-versa. Em seguida, gastou 68 centavos e observou, surpreso, que tinha o dobro da quantia original do cheque. Determine o menor valor possíıvel para o cheque.

Cheque = x,y = 100x + y centavos

Recebeu y,x = 100y + x centavos

(100y + x) - 68 = 2*(100x + y)

98y = 199x + 68 ----> Diofantina

y = (199x + 68)/98 ----> y = 2x + (3x + 68)/98 ----> t = (3x + 68)/98

x = (98t - 68)/3 ----> x = 32t - 22 + (2t - 2)/3 -----> u = (2t - 2)/3

t = (3u + 2)/2 ----> t = u + 2 + u/2 ----> v = u/2 ----> u = 2v


Note que t, u, v, são inteiros. Colocando tudo em função de v:

t = [3*2v + 2]/2 ----> t = 3v + 1

x = [98*(3v + 1) - 68]/3 ----> x = 98v + 10

y = [199*(98v + 10) + 68]/98 ----> y = 199v + 21

Como y é uma quantia em centavos do cheque ----> 0 =< y < 100

0 =< 199v + 21 < 100 ----> - 21/199 =< v < 79/199

O único valor de v que atende é v = 0 ----> x = 10 ---> y = 21

Valor do cheque = R$10,21

Testando ----> 21,10 - 0,68 = 20.42 ---> 20,42/2 = 10,21 ----> OK