Menor área possível

por GILSON TELES ROCHA Sex 25 Mar 2011, 12:37

O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é

A)1/2 B) 1 C) 3/2 D)9/2 E)13/2

por **Medeiros** Sex 25 Mar 2011, 21:37

O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é
A)1/2 ..... B) 1 ..... C) 3/2 ..... D)9/2 ..... E)13/2

Se tivéssemos o vértice C=(1,0), o triângulo teria base 1 e altura 15; consequentemente sua área seria S = 1*15/2 = 15/2.
Para que a área seja mínima, queremos o vértice C o mais perto possível da reta r que passa por AB.
Seja C=(a,b).

reta r
m = 15/36 ----> m = 5/12
a origem A(0,0) pertence à r ----> (y - 0) = (5/12)*(x - 0) ----> y = (5/12)x <----> 5x - 12y = 0

$\\d(P,r)\,\rightarrow\;d\;=\,\frac{\;\;\;|5a-12b|\;\;\;}{\sqrt{5^2+12^2}}\;\;\rightarrow\;\;d\;=\;\frac{\;\;\;|5a-12b|\;\;\;}{13}\\\\\text{área do triângulo }\rightarrow\;S\;=\;\frac{\;Base\times altura\;}{2}\\\text{a Base é o segmento }\overline{AB}\\Base\;=\;\sqrt{36^2+15^2}\;=\;\sqrt{1296+225}\;=\;\sqrt{1521}\;=\;39\\altura \equiv d\\\\ S\;=\;\frac{39}{2}\cdot\frac{\;\;|5a-12b|\;\;}{13}\;\;\rightarrow\;\; {\color{blue} S\;=\;\frac{3}{2}\,|5a-12b|}$

como, por definição, as coordenadas a e b, do ponto C, são inteiros, então (5a - 12b) também será um inteiro.
Para que S seja a mínima possível, o módulo |5a-12b| deverá ser o menor inteiro possível e diferente de zero. Logo,
|5a - 12b| = 1

e portanto ----> S_mín = 3/2 .......... alternativa (c)

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observações

1) exemplos dos pontos na regão do segmento AB: (5,2) (7,3) (17,7) (19,8) (29,12) (31,13)

2) note que existem infinitos pontos próximos à reta r que satisfazem essa área; e não apenas (ou necessariamente) os acima citados.

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