o menor valor possível

por nanda22 Sex 05 Out 2012, 18:32

Observe que :

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2},$
$3^{2} + 4^{2} + 12^{2}= 13^{2},$
$3^{2} + 4^{2} + 12^{2} + 84^{2}= 85^{2}.$

Qual o menor valor possível da soma x+y com x,y inteiros positivos tais que:
$3^{2} + 4^{2} + 12^{2} + 84^{2} + x^{2}= y^{2} ?$

a)289
b)250
c)425
d)795
e)103

por Dark__ Sáb 06 Out 2012, 00:07

3² + 4² + 12² + 84² = 85²

3² + 4² + 12² + 84² + x² = y²
85² + x² = y²
y² - x² = 85²
(y + x).(y - x) = 85²

85|5
17|17

(y + x).(y - x) = (5.17)²

Logo, temos 2 casos:

(y + x).(y - x) = 5².17²

(y + x).(y - x) = 17².5²

Pelo enunciado, sabemos que y > x. Logo, temos que y + x > y - x.

y + x = 5² e y - x = 17².
y + x < y - x (falso).

y + x = 17² e y - x = 5²
y + x > y - x (verdadeiro).

Utilizando o 2º caso:

(y + x).(y - x) = 17².5²

y + x = 17² e y - x = 5²

y + x = x + y = 17² = 289 (Letra A).

o menor valor possível

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