Exercício de trigonometria !

O exercício é: Prove que 2 arc tg 2/3 + arc cos 12/13 = pi/2

olhem so como estou fazendo:

Considerei:

arc tg 2/3 = a ; arc cos 12/ 13 = b e pi/2 = c

então: 2a+ b = c

cos (2a) + cos b = cos c

cos^2 a - sen^2a + 12/13 = cos pi / 2

cos^2 a - sen ^2 + 12/13 = 0

como sei que tg a vale 2/3 ; calculei o seno e cosseno:

sen^2 = tg^2 / (1+tg^2)

sen ^2 = (2/3)^2 / (1+ (2/3)^2 )

sen^2 = 4/13

se sen^2 vale 4/13 ; cos ^2 = 1 - 4/13 ----> cos ^2 vale 9/13

Mas o problema vem agora; a igualdade não está dando certo olhem:

temos que:

cos^2 a - sen ^2 + 12/13 = 0

9/13 - 4/13 + 12/13 = 0

5/13 + 12 / 13 = 0

17/13 = 0 --> essa igualdade é falsa; ou seja; não ficou provado !

Agora, me ajudem: o que fiz de errado ??

mirellats escreveu:
arc tg 2/3 = a ; arc cos 12/ 13 = b e pi/2 = c

então: 2a+ b = c

cos (2a) + cos b = cos c

Mirella, a passagem em vermelho é incoerente. A função cosseno não possui essa propriedade.

Solução:



Como tg(2a) = 1/tg(b), 2a e b são arcos complementares.

CqD

mirellats escreveu:O exercício é: Prove que 2 arc tg 2/3 + arc cos 12/13 = pi/2

olhem so como estou fazendo:

Considerei:

arc tg 2/3 = a ; arc cos 12/ 13 = b e pi/2 = c

então: 2a+ b = c

cos^2 a - sen^2a + 12/13 = cos pi / 2

cos^2 a - sen ^2 + 12/13 = 0

como sei que tg a vale 2/3 ; calculei o seno e cosseno:

sen^2 = tg^2 / (1+tg^2)

sen ^2 = (2/3)^2 / (1+ (2/3)^2 )

sen^2 = 4/13

se sen^2 vale 4/13 ; cos ^2 = 1 - 4/13 ----> cos ^2 vale 9/13

Mas o problema vem agora; a igualdade não está dando certo olhem:

temos que:

cos^2 a - sen ^2 + 12/13 = 0

9/13 - 4/13 + 12/13 = 0

5/13 + 12 / 13 = 0

17/13 = 0 --> essa igualdade é falsa; ou seja; não ficou provado !

Agora, me ajudem: o que fiz de errado ??

Bom dia,

É preciso lembrar que a equação [cos (2a) + cos b = cos c] não deve ser verdadeira.

Como está-se trabalhando com arcos, seria necessário (creio) considerar o cosseno da soma dos dois arcos em pauta.

Resolvi mudando o segundo termo (de cosseno para tangente):

2 arc tg 2/3 + arc cos 12/13 = pi/2

Dentre os triângulos retângulos de lados inteiros, existe o que tem os seguintes lados:
cateto1 = 5
cateto2 = 12
hipotenusa = 13

Assim, se o cosseno é 12/13, certamente que a respectiva tangente é 5/12.

Fica, então:

arc tg 2a + arc tg 5/12 = arc tg ∝ (arc corresp. à tg 90°)

tg 2a = 2.tga/(1-tg²a) = 2.(2/3)/[1 - (2/3)²] = 4/3 /(1 - 4/9) = 4/3 / 5/9 = 4/3 * 9/5 = 12/5

Agora é preciso considerar que precisaremos somar os arcos respectivos a essas tangentes; lembrando que:

tg (x+y) = (tgx + tgy)/(1 - tgx.tgy) → Nesta formula, para não confundir, substituí "a" e "b" por "x" e "y".

tg (x+y) = (12/5 + 5/12)/[1 - (12/5 * 5/12)] =169/60 / (1-1) = 169/60 / 0 = ∝ = tg 90° (arco de ∏/2)

Espero ter ajudado...







Um abraço.

Muito obrigada !!